Reduzir cada equação a seguir à forma ordinária:
2 x^2+2 y^2-10 x+6 y-15=0

Passo 1

O enunciado pede para escrever em forma ordinária (canônica) a cônica dada por
2x^2 + 2y^2 -10x +6y -15 = 0
Aqui o conteúdo é reduzir uma equação geral de cônica (sem termo xy) completando quadrados. Como os coeficientes de x^2 e y^2 são iguais e não há termo misto, trata-se de um círculo.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e fatoramos o 2:
2l(x^2 -5x + y^2 +3yr) -15 = 0

Passo 3

Agora completamos o quadrado para x e para y:
x^2 -5x = (x -2,5)^2 - (2,5)^2 = (x -2,5)^2 -6,25,
y^2 +3y = (y +1,5)^2 - (1,5)^2 = (y +1,5)^2 -2,25
Substituindo em ;2[x^2-5x + y^2+3y]-15=0:
2l((x -2,5)^2 -6,25 + (y +1,5)^2 -2,25r) -15 = 0

Passo 4

Distribuindo o 2 e juntando constantes:
2(x -2,5)^2 + 2(y +1,5)^2 -2cdot8,5 -15 = 0 Longrightarrow 2(x -2,5)^2 + 2(y +1,5)^2 -17 -15 = 0,
2(x -2,5)^2 + 2(y +1,5)^2 -32 = 0 Longrightarrow 2(x -2,5)^2 + 2(y +1,5)^2 = 32
Dividindo por 2:
(x -2,5)^2 + (y +1,5)^2 = 16

Passo 5

Essa é a forma canônica de um círculo de centro l(2,5,,-1,5r) e raio 4.

Resposta

(x -2,5)^2 + (y +1,5)^2 = 16

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