Determinar a equação da circunferência que contém a origem dos eixos e os pontos (-1,2) e (3,1).
Passo 1
O enunciado pede a equação da circunferência que passa pelos pontos (0,0), (-1,2) e (3,1). Vamos usar o modelo geral da circunferência no plano cartesiano:
x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F = 0
onde D, E e F são constantes a determinar.
Passo 2
Como a circunferência contém a origem (0,0), ao substituir (x,y)=(0,0) na equação geral obtemos
0^2 + 0^2 + D\cdot 0 + E\cdot 0 + F = 0
Logo,
F = 0.
Passo 3
Agora substituímos os outros dois pontos na forma simplificada
x^2 + y^2 + D\,x + E\,y = 0.
Para (-1,2):
(-1)^2 + 2^2 + D\cdot(-1) + E\cdot 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5 - D + 2E = 0.
Para (3,1):
3^2 + 1^2 + D\cdot 3 + E\cdot 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 10 + 3D + E = 0.
Passo 4
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 5 - D + 2E = 0,\\\\ 10 + 3D + E = 0, \end{cases}
isolamos E na segunda equação:
E = -10 - 3D,
e substituímos na primeira:
5 - D + 2(-10 - 3D) = 0 \;\Longrightarrow\; 5 - D - 20 - 6D = 0 \;\Longrightarrow\; -15 -7D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -\frac{15}{7}.