Determine a equação da circunferência com centro (3,-1) que é tangente à reta 3 x-4 y=2.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência com centro em (3,-1) que seja tangente à reta 3x - 4y = 2. Para resolver, usamos o fato de que, se a circunferência é tangente à reta, o raio r é igual à distância do centro à reta. A fórmula da distância do ponto (x_0,y_0) à reta Ax + By + C = 0 é
d = \frac{\lvert A x_0 + B y_0 + C\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Passo 2

Escrevendo a reta no formato Ax + By + C = 0, temos
3x - 4y - 2 = 0.
Aplicando a fórmula da distância para o ponto (3,-1):
d = \frac{\bigl|3\cdot 3 - 4\cdot(-1) - 2\bigr|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{\lvert 9 + 4 - 2\rvert}{5} = \frac{11}{5}.
Logo, o raio da circunferência é
r = \frac{11}{5}.

Passo 3

A equação de uma circunferência de centro (x_0,y_0) e raio r é
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2.
Substituindo (x_0,y_0) = (3,-1) e r = \tfrac{11}{5}, obtemos
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = \Bigl(\frac{11}{5}\Bigr)^2 = \frac{121}{25}.

Resposta

(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = \frac{121}{25}.

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