Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A=(5,9) e é tangente à reta L: x+2 y-3=0 no ponto B=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede a circunferência que passa por A=(5,9) e que é tangente à reta
L: x + 2y - 3 = 0
no ponto B=(1,1). Para resolver precisamos usar duas ideias de geometria de círculos:
  1. Num ponto de tangência, o raio é perpendicular à reta tangente.
  2. Todos os pontos do círculo são equidistantes do centro.

Passo 2

Como o raio em B é perpendicular a L, o vetor CB é paralelo ao vetor normal de L, que é (1,2). Sejam as coordenadas do centro C=(h,k). Então existe tinR tal que
(h-1,;k-1) = t,(1,2)
Isto dá o sistema paramétrico
h = 1 + t, k = 1 + 2t

Passo 3

Como C está na circunferência, distâncias CA e CB são iguais. Escrevemos
(h-5)^2 + (k-9)^2 = (h-1)^2 + (k-1)^2
Substituindo h=1+t e k=1+2t temos
((1+t)-5)^2 + ((1+2t)-9)^2 = ((1+t)-1)^2 + ((1+2t)-1)^2
Isto é
(t-4)^2 + (2t-8)^2 = t^2 + (2t)^2 Longrightarrow 5t^2 - 40t + 80 = 5t^2 Longrightarrow t=2

Passo 4

Com t=2 obtemos
h = 1 + 2 = 3, k = 1 + 2cdot2 = 5
Logo o centro é C=(3,5).

Passo 5

O raio r satisfaz
r^2 = (h-1)^2 + (k-1)^2 = (3-1)^2 + (5-1)^2 = 4 + 16 = 20
Assim a equação da circunferência é
(x-3)^2 + (y-5)^2 = 20

Resposta

(x-3)^2 + (y-5)^2 = 20

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