Encontrar a equação da reta tangente à circunferência x^2+y^2+2 x-2 y-39=0 no ponto P0=(4,5).

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^2+y^2+2x-2y-39=0
e pede a reta tangente a ela no ponto P0=(4,5).
Conteúdo: geometria analítica de círculos.
Planejamos (1) achar o centro e raio por completamento de quadrado, (2) verificar que P0 pertence à circunferência, (3) usar que a reta tangente é perpendicular ao raio em P0.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e y:
x^2+2x = (x+1)^2-1, y^2-2y = (y-1)^2-1
Substituindo em
x^2+y^2+2x-2y-39=0
vem
(x+1)^2-1 + (y-1)^2-1 -39 = 0
iff (x+1)^2 + (y-1)^2 = 41
Logo o centro é C = (-1,,1) e o raio é raiz41.

Passo 3

Verificamos que P0=(4,5) está na circunferência calculando
l(4 - (-1)r)^2 + (5-1)^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41,
igual ao raio ao quadrado, logo P0 pertence de fato à circunferência.

Passo 4

O vetor raio CP0 vai de C=(-1,1) a P0=(4,5), portanto sua inclinação é
mraio = 5 - 14 - (-1) = 45
A reta tangente é perpendicular ao raio em P0, então seu coeficiente angular m satisfaz
m cdot mraio = -1 implies m = -1mraio = -54

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação em P0=(4,5):
y - 5 = -tfrac54,(x - 4)
Multiplicando por 4 para simplificar:
4y - 20 = -5x + 20 ;;Longrightarrow;; 5x + 4y - 40 = 0

Resposta

A equação da reta tangente é
5x + 4y - 40 = 0

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