Encontrar a equação da circunferência que passa pelo ponto A=(7,-5) e é tangente à reta L: x-y-4=0 no ponto B=(3,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa por A=(7,-5) e é tangente à reta
L: x - y - 4 = 0
no ponto B=(3,-1). O conteúdo principal aqui é geometria analítica de círculos: usamos a propriedade de que o raio até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente.

Passo 2

Para usar essa propriedade, determinamos a direção do raio em B. A reta L tem vetor normal n=(1,-1), mas seu vetor diretor é u=(1,1). Como o raio deve ser perpendicular à reta tangente, ele deve ser paralelo a n=(1,-1).

Passo 3

Isso significa que o centro C da circunferência está em uma reta passando por B e de direção n. Assim, podemos escrever
C = B + k,(1,-1) = l(3+k,,-1-kr),
onde k é um parâmetro real.

Passo 4

Como a circunferência passa por A, a distância CA é igual à distância CB. Calculamos:
CB^2 = l|k,(1,-1)r|^2 = k^2l(1^2+(-1)^2r)=2k^2,
CA^2 = l(3+k - 7r)^2 + l(-1-k + 5r)^2 = (k-4)^2 + (4-k)^2 = 2,(k-4)^2
Igualando CA^2 = CB^2, vem
2,(k-4)^2 = 2k^2 Longrightarrow (k-4)^2 = k^2 Longrightarrow -8k + 16 = 0 Longrightarrow k = 2

Passo 5

Com k=2, o centro é
C = (3+2,,-1-2) = (5,-3),
e o raio satisfaz
r^2 = CB^2 = 2k^2 = 2cdot 2^2 = 8

Resposta

A equação da circunferência é
(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 8

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