Questão 4 [2,0 pontos] Usando integral dupla, resolva os itens a seguir:
(a) Esboce a região R definida pelas equações x=0, y=x+2 e y=x^{2}, e usando integral dupla, determine a área da região R;
\int 1 d A
(2) Determine o volume do sólido S definido superiormente pelo gráfico de f(x, y)=4-y, inferiormente pela região R e lateralmente pelo contorno da região R;

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por meio de integrais duplas,
– a área da região R limitada pelas curvas x=0, y=x^2 e y=x+2 via
\iint_R 1\,dA,
– e o volume do sólido S sobre R e abaixo do gráfico de f(x,y)=4-y via
\iint_R (4-y)\,dA.

Passo 2

Para descrever R encontramos a interseção entre y=x^2 e y=x+2 resolvendo
x^2 = x+2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x - 2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1,\;x=2.
Como há também a reta vertical x=0, a região corresponde a
0\le x\le 2, \qquad x^2 \le y \le x+2.
Em cada fatia vertical x=\text{const}, o y varia de x^2 até x+2.

Passo 3

A integral dupla que dá a área é
A = \int_{x=0}^{2}\int_{y=x^2}^{x+2} 1\,dy\,dx.
Integrando primeiro em y, obtemos
A = \int_{0}^{2}\bigl[(x+2)-x^2\bigr]\,dx.

Passo 4

Agora integramos em x:
A = \int_{0}^{2}\Bigl(x+2 - x^2\Bigr)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}.

Passo 5

Para o volume sob f(x,y)=4-y sobre R usamos
V = \iint_{R}(4-y)\,dA = \int_{0}^{2}\int_{x^2}^{x+2}(4-y)\,dy\,dx.

Passo 6

Calculamos a integral interna em y:
\int_{y=x^2}^{x+2}(4-y)\,dy = \Bigl[4y - \tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{x^2}^{x+2} = \bigl(4(x+2)-\tfrac{(x+2)^2}{2}\bigr) - \bigl(4x^2-\tfrac{x^4}{2}\bigr),
que simplifica para
2x + 6 \;-\;\frac{9x^2}{2}\;+\;\frac{x^4}{2}.

Passo 7

Finalmente integramos em x:
V = \int_{0}^{2}\Bigl(2x + 6 - \tfrac{9x^2}{2} + \tfrac{x^4}{2}\Bigr)\,dx = \left[x^2 + 6x - \tfrac{3x^3}{2} + \tfrac{x^5}{10}\right]_{0}^{2} = \frac{36}{5}.

Resposta

\text{(a) } A = \frac{10}{3}.\n \text{(b) } V = \frac{36}{5}.

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