Questão 4 [2,0 pontos] Usando integral dupla, resolva os itens a seguir:
(a) Esboce a região
definida pelas equações
e
, e usando integral dupla, determine a área da região
;
(2) Determine o volume do sólido
definido superiormente pelo gráfico de
, inferiormente pela região
e lateralmente pelo contorno da região
;
(a) Esboce a região
Passo 1
O enunciado pede para calcular, por meio de integrais duplas,
– a área da região limitada pelas curvas
,
e
via
– a área da região
– e o volume do sólido
sobre
e abaixo do gráfico de
via
Passo 2
Para descrever
encontramos a interseção entre
e
resolvendo
Como há também a reta vertical
, a região corresponde a
Em cada fatia vertical
, o
varia de
até
.
Passo 3
A integral dupla que dá a área é
Integrando primeiro em
, obtemos
Passo 4
Agora integramos em
:
Passo 5
Para o volume sob
sobre
usamos
Passo 6
Calculamos a integral interna em
:
que simplifica para
Passo 7
Finalmente integramos em
: