Questão 3 [2,0 pontos] Considere a integral dupla I=\int_{0}^{3} \int_{x}^{6-x} 2-x d y d x
(a) Resolva a integral;
(b) Esboce a região de integração R da integral;
(c) Escreva a integral I usando outra ordem de integração, incluindo a alteração dos extremos de integração e a montagem da integral. Não é preciso resolver a integral.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
I = \int_{0}^{3}\int_{x}^{6-x}(2 - x)\,dy\,dx
e pede:
(a) calcular I;
(b) esboçar a região de integração R;
(c) escrever I trocando a ordem de integração, com os novos limites (sem resolver).
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 3,\;x \le y \le 6 - x\}.
É um triângulo de vértices (0,0), (0,6) e (3,3), limitado pelas retas \,y = x, \,y = 6 - x e o eixo x=0.
Passo 4
Para trocar a ordem, projetamos R no eixo y. O valor mínimo de y é 0 (em (0,0)) e o máximo é 6 (em (0,6)).
Para cada y, x varia de 0 até a menor das soluções de y = x e y = 6 - x.
Se 0 \le y \le 3, então y \le 6 - y, logo 0 \le x \le y.
Se 3 \le y \le 6, então 6 - y \le y, logo 0 \le x \le 6 - y.