Questão 3 [2,0 pontos] Considere a integral dupla I=\int_{0}^{3} \int_{x}^{6-x} 2-x d y d x
(a) Resolva a integral;
(b) Esboce a região de integração R da integral;
(c) Escreva a integral I usando outra ordem de integração, incluindo a alteração dos extremos de integração e a montagem da integral. Não é preciso resolver a integral.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
I = \int_{0}^{3}\int_{x}^{6-x}(2 - x)\,dy\,dx
e pede:
(a) calcular I;
(b) esboçar a região de integração R;
(c) escrever I trocando a ordem de integração, com os novos limites (sem resolver).

Passo 2

Para calcular I, primeiro integramos em y:
\int_{x}^{6 - x}(2 - x)\,dy = (2 - x)\bigl[(6 - x) - x\bigr] = (2 - x)(6 - 2x).
Em seguida,
I = \int_{0}^{3}\bigl[(2 - x)(6 - 2x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{3}\bigl(12 -10x +2x^{2}\bigr)\,dx.
Calculemos:
\int_{0}^{3}12\,dx = 12x\big|_{0}^{3} = 36,\quad \int_{0}^{3}(-10x)\,dx = -5x^{2}\big|_{0}^{3} = -45,
\int_{0}^{3}2x^{2}\,dx = \tfrac{2}{3}x^{3}\big|_{0}^{3} = 18.
Somando, I = 36 - 45 + 18 = 9.

Passo 3

A região R é
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 3,\;x \le y \le 6 - x\}.
É um triângulo de vértices (0,0), (0,6) e (3,3), limitado pelas retas
\,y = x, \,y = 6 - x e o eixo x=0.

Passo 4

Para trocar a ordem, projetamos R no eixo y. O valor mínimo de y é 0 (em (0,0)) e o máximo é 6 (em (0,6)).
Para cada y, x varia de 0 até a menor das soluções de y = x e y = 6 - x.
  • Se 0 \le y \le 3, então y \le 6 - y, logo 0 \le x \le y.
  • Se 3 \le y \le 6, então 6 - y \le y, logo 0 \le x \le 6 - y.

Passo 5

Assim, a integral em ordem invertida é
I = \int_{0}^{3}\!\int_{0}^{y}(2 - x)\,dx\,dy \;+\; \int_{3}^{6}\!\int_{0}^{6 - y}(2 - x)\,dx\,dy,
sem necessidade de resolver de novo.

Resposta

(a) I = 9.
(b) R é o triângulo com vértices (0,0), (0,6) e (3,3), limitado por y = x, y = 6 - x e x = 0.
(c)
I = \int_{0}^{3}\int_{0}^{y}(2 - x)\,dx\,dy \;+\; \int_{3}^{6}\int_{0}^{6 - y}(2 - x)\,dx\,dy.

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