Determinar a equação da elipse de centro C=(4,1), com um foco F1=(1,1) e excentricidade e=13.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujo centro é
C=(4,1),
um dos focos é
F1=(1,1)
e a excentricidade é
e=tfrac13
Para resolver precisamos lembrar que numa elipse com semi-eixo maior a, focal distância c e semi-eixo menor b vale
e=ca e b^2 = a^2 - c^2

Passo 2

Calcular c, que é a distância do centro C a um foco F1. Como
C=(4,1), F1=(1,1),
temos
c = raiz(1-4)^2 + (1-1)^2 = raiz(-3)^2 + 0^2 =3

Passo 3

Usar a definição de excentricidade e=ca para encontrar a. Sabemos e=tfrac13 e c=3, logo
13 = 3a Longrightarrow a = 3cdot 3 =9

Passo 4

Calcular b pela relação
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo a=9 e c=3, obtemos
b^2 = 9^2 - 3^2 = 81 - 9 = 72

Passo 5

Identificar a orientação da elipse. Os focos estão em (1,1) e no simétrico (7,1), ou seja, eixo maior na direção x. A equação canônica centrada em (4,1) com semi-eixos a e b é
(x-4)^2a^2 ;+;(y-1)^2b^2=1
Substituindo a^2=81 e b^2=72, ficamos com:

Resposta

(x-4)^281 ;+;(y-1)^272=1

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