Determinar a equação reduzida da elipse sabendo que C=(0,0), eixo maior horizontal, distância focal 8 e P=(raiz15,-1) pertence à elipse.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma elipse de centro C=(0,0), eixo maior horizontal, distância entre focos igual a 8 e que contém o ponto P=(raiz15,-1). Vamos usar a forma canônica
x^2a^2+y^2b^2=1,
com a>b>0 e a relação entre semi-eixo, focal e biela:
c^2 = a^2 - b^2,
onde 2c é a distância entre os focos.

Passo 2

Como a distância entre focos é 2c=8, temos
c=4
Então
b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - 16

Passo 3

O ponto P=(raiz15,-1) pertence à elipse, logo
(raiz15)^2a^2 + (-1)^2b^2 = 1 Longrightarrow 15a^2 + 1a^2-16 = 1

Passo 4

Multiplicando por a^2(a^2-16) obtemos
15(a^2-16) + a^2 = a^2(a^2-16) Longrightarrow a^4 -32a^2 +240 = 0

Passo 5

Fazendo z=a^2, a equação vira
z^2 -32z +240 = 0
com discriminante De<a = (-32)^2 -4cdot240 =64. Logo
z = 32pm82 = 20 ou 12
Como a^2>c^2=16, escolhemos a^2=20. Assim
b^2 = a^2 -16 = 20 -16 = 4

Resposta

A equação reduzida da elipse é
x^220 + y^24 = 1

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