Há duas retas paralelas à reta 3 x-5 y=4 que tangenciam a circunferência x^{2}+y^{2}=25, determine-as.

Passo 1

O enunciado nos dá a circunferência
x^{2}+y^{2}=25
com centro na origem e raio 5, e pede as retas paralelas a
3x-5y=4
que tangenciam essa circunferência. Para resolver, vamos usar a geometria analítica de retas paralelas e a condição de tangência via distância do centro à reta igual ao raio.

Passo 2

Uma reta genérica paralela a 3x-5y=4 tem os mesmos coeficientes de x e y, então pode ser escrita como
3x - 5y + k = 0
onde k é uma constante a determinar.

Passo 3

A distância do ponto (0,0) à reta
3x - 5y + k = 0
é dada por
d = \frac{\lvert 3\cdot0 - 5\cdot0 + k\rvert}{\sqrt{3^{2} + (-5)^{2}}} = \frac{\lvert k\rvert}{\sqrt{34}}.
Para que a reta seja tangente à circunferência de raio 5, precisamos ter d = 5. Logo,
\frac{\lvert k\rvert}{\sqrt{34}} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \lvert k\rvert = 5\sqrt{34}.

Passo 4

Da igualdade \lvert k\rvert = 5\sqrt{34} obtemos duas soluções:
k = 5\sqrt{34} \quad\text{ou}\quad k = -5\sqrt{34}.
Substituindo em 3x - 5y + k = 0, as retas buscadas são
3x - 5y + 5\sqrt{34} = 0 \quad\text{e}\quad 3x - 5y - 5\sqrt{34} = 0.

Resposta

3x - 5y + 5\sqrt{34} = 0
3x - 5y - 5\sqrt{34} = 0

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