Determine a reta que tangencia a circunferência x^{2}+y^{2}-2 x+y=5 no ponto (3,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta que tangencia a circunferência
x^{2}+y^{2}-2x+y=5
no ponto (3,1). Este é um problema de geometria analítica: vamos encontrar o centro e o raio da circunferência completando quadrados e usar que a reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Passo 2

Reescrevendo a equação e completando quadrados:
x^{2}-2x + y^{2}+y = 5
Adicionamos e subtraímos os termos necessários:
x^{2}-2x+1 \;+\; y^{2}+y+\tfrac{1}{4} \;=\;5 + 1 + \tfrac{1}{4}
Logo,
(x-1)^{2} + \Bigl(y+\tfrac12\Bigr)^{2} = \tfrac{25}{4}.

Passo 3

Dessa forma, o centro é
C = (1,\,-\tfrac12)
e o raio é
r = \tfrac{5}{2}.
Para checar que (3,1) está na circunferência, calculamos
\overline{CP}^{2} = (3-1)^{2} + \bigl(1 -(-\tfrac12)\bigr)^{2} = 2^{2} + \bigl(\tfrac32\bigr)^{2} = 4 + \tfrac{9}{4} = \tfrac{25}{4} = r^{2},
confirmando que (3,1) pertence à circunferência.

Passo 4

O vetor raio \overrightarrow{CP} tem inclinação
m_{CP} = \frac{1 -(-\tfrac12)}{3 - 1} = \frac{\tfrac32}{2} = \tfrac{3}{4}.

Passo 5

A reta tangente é perpendicular ao raio, então sua inclinação m_{t} satisfaz
m_{t}\,m_{CP} = -1 \quad\Longrightarrow\quad m_{t} = -\frac{1}{m_{CP}} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}.

Passo 6

Usando a forma ponto-inclinação da reta em (3,1):
y - 1 = -\tfrac{4}{3}\,(x - 3).
Para colocar em forma geral, multiplicamos por 3:
3y - 3 = -4x + 12 \quad\Longrightarrow\quad 4x + 3y - 15 = 0.

Resposta

A reta tangente é
4x + 3y - 15 = 0.

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