Determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.
centro C(0,0), um foco F\left(\frac{3}{4}, 0\right) e um vértice A(1,0).

Passo 1

O enunciado pede a elipse de centro em C(0,0), com um foco em F(\tfrac34,0) e um vértice em A(1,0). Isso indica que o eixo maior está sobre o eixo x. Para escrever a equação, vamos usar a forma canônica de uma elipse centrada na origem com eixos paralelos aos eixos coordenados.

Passo 2

Para uma elipse com eixo maior no eixo x, a forma canônica é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
onde a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor. Os focos ficam em (\pm c,0) e satisfazem
c^2 = a^2 - b^2.

Passo 3

O vértice A(1,0) coincide com (a,0), logo
a = 1.

Passo 4

O foco F(\tfrac34,0) coincide com (c,0), então
c = \frac34.

Passo 5

Usando c^2 = a^2 - b^2, temos
b^2 = a^2 - c^2 = 1^2 - \Bigl(\tfrac34\Bigr)^{2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.
Substituindo a^2=1 e b^2=\tfrac{7}{16} na forma canônica surge
\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{\tfrac{7}{16}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + \frac{16}{7}\,y^2 = 1.

Resposta

A equação da elipse é
x^2 + \frac{16}{7}\,y^2 = 1.

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