Determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçe o gráfico.
x^{2}=-12 y

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola dada por x^{2}=-12\,y, além de esboçar seu gráfico. O conteúdo é Seções Cônicas – parábola na forma padrão x^{2}=4p\,y. Vamos comparar diretamente para encontrar p e, em seguida, os elementos geométricos.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão. Temos
x^{2}=-12\,y
Comparando com
x^{2}=4p\,y
vemos que
4p=-12 \quad\Longrightarrow\quad p=-3.

Passo 3

O vértice de uma parábola na forma x^{2}=4p\,y fica na origem. Logo o vértice é
V=(0,0).

Passo 4

O foco tem coordenadas (0,p). Substituindo p=-3 obtemos
F=(0,-3).

Passo 5

A diretriz é a reta dada por y=-p. Como p=-3, temos y=3.

Passo 6

O eixo da parábola é a reta que passa pelo vértice e pelo foco. Aqui é a reta vertical x=0.

Passo 7

Para esboçar o gráfico, note que a parábola abre para baixo a partir da origem. Por exemplo, para x=6
y=-\frac{x^{2}}{12}=-\frac{36}{12}=-3,
logo passa por (6,-3) e, simetricamente, por (-6,-3). O eixo de simetria é x=0 e a diretriz é y=3.

Resposta

Vértice: (0,0)
Foco: (0,-3)
Diretriz: y=3
Eixo: x=0

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