Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
centro \mathrm{C}(0,0), eixo real sobre \mathrm{Oy}, \mathrm{b}=8 e excentricidade \frac{5}{3}

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole centrada em (0,0), com eixo real sobre o eixo Oy, semieixo conjugado b=8 e excentricidade e=\tfrac{5}{3}.

Passo 2

Para hipérbole com eixo real vertical, a forma canônica é
\frac{y^2}{a^2} \;-\;\frac{x^2}{b^2} \;=\;1
e temos a relação entre os parâmetros
c^2 \;=\;a^2 + b^2,
onde c é a distância do centro a um foco.

Passo 3

A excentricidade satisfaz
e \;=\;\frac{c}{a} \;=\;\frac{5}{3},
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c \;=\;\frac{5}{3}\,a
e como b=8 temos
b^2 = 64.
Substituindo em c^2=a^2+b^2 resulta
\Bigl(\tfrac{5}{3}a\Bigr)^2 \;=\;a^2 + 64.

Passo 4

Desenvolvendo a equação
\frac{25\,a^2}{9} \;=\;a^2 + 64 \quad\Longrightarrow\quad 25\,a^2 = 9\,a^2 + 576 \quad\Longrightarrow\quad 16\,a^2 = 576 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 36.

Passo 5

Substituindo a^2=36 e b^2=64 na forma canônica da hipérbole vertical, obtemos
\frac{y^2}{36} \;-\;\frac{x^2}{64} \;=\;1.

Resposta

\frac{y^2}{36} \;-\;\frac{x^2}{64} \;=\;1.

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