Determinar a equação da família de curvas tais que a área do trapézio (cuja base maior coincide com o eixo OX, limitada pelos dois eixos coordenados, a ordenada em seu ponto genérico P de coordenadas (x, y) e a reta paralela ao eixo OX passando por este ponto), tenha área sempre igual a 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma família de curvas onde, para cada ponto P(x, y) nessa curva, a área de um trapézio formado pelas duas coordenadas, o eixo OX , e uma reta paralela ao OX passando por P seja sempre igual a 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da área de um trapézio.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o trapézio descrito. A base maior do trapézio está no eixo OX e coincide com ele. O ponto P(x, y) está na curva que queremos encontrar, e a reta paralela ao OX que passa por P forma a base menor do trapézio. As outras duas laterais do trapézio são formadas pelas coordenadas (0, 0) e (x, 0) .

Passo 3

Agora, precisamos expressar a área do trapézio em termos de x e y . A fórmula da área do trapézio é:
Área = (B + b) times h2 Á
onde:
  • B é a base maior,
  • b é a base menor,
  • h é a altura.
No nosso caso:
  • B = x (comprimento da base maior no eixo OX ),
  • b = x (a base menor também tem comprimento x porque é paralela ao OX ),
  • h = y (altura do trapézio, que é a coordenada y do ponto P ).
Substituindo na fórmula:
2 = (x + x) times y2

Passo 4

Vamos simplificar a equação para encontrar a relação entre x e y :
2 = 2x times y2
2 = x times y
x times y = 2

Passo 5

Agora, queremos a equação da família de curvas, ou seja, uma relação entre x e y que satisfaça a condição dada. Da equação x times y = 2 , podemos isolar y :
y = 2x

Resposta

A equação da família de curvas é y = dfrac2x .

Exercícios relacionados