Determinar a equação da família de curvas tais que a área do trapézio (cuja base maior coincide com o eixo OX, limitada pelos dois eixos coordenados, a ordenada em seu ponto genérico
de coordenadas
e a reta paralela ao eixo OX passando por este ponto), tenha área sempre igual a 2.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma família de curvas onde, para cada ponto
nessa curva, a área de um trapézio formado pelas duas coordenadas, o eixo
, e uma reta paralela ao
passando por
seja sempre igual a 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da área de um trapézio.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o trapézio descrito. A base maior do trapézio está no eixo
e coincide com ele. O ponto
está na curva que queremos encontrar, e a reta paralela ao
que passa por
forma a base menor do trapézio. As outras duas laterais do trapézio são formadas pelas coordenadas
e
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a área do trapézio em termos de
e
. A fórmula da área do trapézio é:
onde:
-
é a base maior, -
é a base menor, -
é a altura.
No nosso caso:
-
(comprimento da base maior no eixo ), -
(a base menor também tem comprimento porque é paralela ao ), -
(altura do trapézio, que é a coordenada do ponto ).
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a equação para encontrar a relação entre
e
:
Passo 5
Agora, queremos a equação da família de curvas, ou seja, uma relação entre
e
que satisfaça a condição dada. Da equação
, podemos isolar
:
Resposta
A equação da família de curvas é
.