Encontre a primitiva.
integral x-3(x^2+2 x+4)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
integral x-3l(x^2+2x+4r)^2,dx
O conteúdo é integração de função racional em que o denominador é um quadrado de trinômio de segundo grau. Vamos usar duas ideias principais: decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e completar quadrado para aplicar a fórmula de
integraldt(t^2+a^2)^2.

Passo 2

Decompomos o numerador x-3 em uma parte A(x+1) mais uma constante B. Queremos
x-3 = A(x+1) + B
Igualando coeficientes, vem A=1 e 1 + B = -3, logo B=-4. Então
x-3(x^2+2x+4)^2 = x+1(x^2+2x+4)^2 - 4,1(x^2+2x+4)^2

Passo 3

Para a parte integral x+1(x^2+2x+4)^2,dx fazemos
u = x^2+2x+4, du = 2(x+1),dx ;Longrightarrow; (x+1),dx = tfrac12,du
Assim
integral x+1(x^2+2x+4)^2,dx = 12integral u^-2,du = -12u = -12l(x^2+2x+4r)

Passo 4

Fica então
integral x-3(x^2+2x+4)^2,dx = -12(x^2+2x+4) -4integral dx(x^2+2x+4)^2
Para o segundo termo completamos quadrado:
x^2+2x+4 = (x+1)^2+3
Com a troca t = x+1 e a=raiz3, usamos a fórmula padrão
integral dt(t^2+a^2)^2 = t2a^2(t^2+a^2) + 12a^3arctan!l(tfractar) + C
Aqui a^2=3, então
integral dxl((x+1)^2+3r)^2 = x+16l((x+1)^2+3r) + 16raiz3arctan!l(x+1raiz3r)

Passo 5

Voltando e reunindo tudo,
integral x-3(x^2+2x+4)^2,dx = -12D -4!l(x+16D + 16raiz3arctan!tfracx+1raiz3r) + C,
onde D = x^2+2x+4. Simplificando os termos racionais:
-12D-4(x+1)6D = -3 + 4(x+1)6D = -4x+76(x^2+2x+4)
E o termo com arctan fica -tfrac46raiz3=-tfrac23raiz3.

Resposta

-4x+76l(x^2+2x+4r) -23raiz3,arctan!l(x+1raiz3r) + C

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