Encontre a primitiva.
.
Passo 1
O enunciado pede a primitiva da função
O conteúdo é integração de função racional em que o denominador é um quadrado de trinômio de segundo grau. Vamos usar duas ideias principais: decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e completar quadrado para aplicar a fórmula de
.
Passo 2
Decompomos o numerador
em uma parte
mais uma constante
. Queremos
Igualando coeficientes, vem
e
, logo
. Então
Passo 3
Para a parte
fazemos
Assim
Passo 4
Fica então
Para o segundo termo completamos quadrado:
Com a troca
e
, usamos a fórmula padrão
Aqui
, então
Passo 5
Voltando e reunindo tudo,
onde
. Simplificando os termos racionais:
E o termo com
fica
.