Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
integral2^+infty 1(x+3)^3 / 2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral2^+infty1(x+3)^3/2,dx,
que é um caso típico de integral da forma integrala^infty(x+c)^-pdx. Vamos reescrevê-la como limite e depois encontrar sua primitiva.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite quando o ponto superior tende a infinito:
integral2^+infty1(x+3)^3/2,dx =limAto+inftyintegral2^A(x+3)^-3/2,dx

Passo 3

Calculamos a primitiva de (x+3)^-3/2. Usando a regra integral (u)^ndu=(u)^n+1/(n+1) para nneq -1 e u=x+3, temos
integral (x+3)^-3/2,dx =(x+3)^-1/2-1/2 =-2,(x+3)^-1/2+C

Passo 4

Avaliamo-la no intervalo de x=2 até x=A e tomamos Ato+infty:
limAto+inftyl[-2,(x+3)^-1/2r]x=2^x=A =limAto+inftyl(-2,(A+3)^-1/2+2,(5)^-1/2r)
Como (A+3)^-1/2to0 quando Atoinfty, sobra
2,(5)^-1/2=2raiz5

Passo 5

Concluímos que a integral converge (pois o limite existe e é finito) e seu valor é tfrac2raiz5.

Resposta

A integral é convergente e vale 2raiz5.

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