QUESTÃO 2 (2,0 Pontos). Obtenha uma equação geral do plano \alpha paralelo ao plano \beta: 3 y+4 z+5=0 e que contém a reta r:(x, y, z)=(0,4,0)+t(0,4,-3). Calcule a medida do ângulo \theta formado entre o plano \beta e a reta s. s: \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{3} ; z=3
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
A equação geral do plano \alpha que é paralelo ao plano
\beta: 3y + 4z + 5 = 0
e contém a reta
r: (x,y,z) = (0,4,0) + t\,(0,4,-3).
O ângulo \theta formado entre o plano \beta e a reta
s: \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{3},\quad z=3.
Para resolver vamos usar:
Plano paralelo tem o mesmo vetor normal.
Equação de plano: n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0.
Ângulo entre reta e plano: \displaystyle \sin\theta = \frac{|n\cdot v|}{\|n\|\;\|v\|}, onde n é o normal do plano e v o vetor direção da reta.
Passo 2
Identificamos o vetor normal de \beta. Da equação
3y + 4z + 5 = 0
vemos que
n = (0,\,3,\,4).
Como \alpha é paralelo a \beta, seu normal também é n=(0,3,4).
Passo 3
Para encontrar a equação de \alpha, usamos um ponto de r. Em t=0 temos o ponto
P=(0,4,0).
A equação geral de \alpha é
0\,(x-0) + 3\,(y-4) + 4\,(z-0) = 0
ou, distribuindo,
3y -12 +4z = 0
Portanto,
\boxed{3y + 4z - 12 = 0.}
Passo 4
Agora, para o ângulo entre \beta e s, extraímos o vetor direção de s. Das simetrizações