QUESTÃO 2 (2,0 Pontos). Obtenha uma equação geral do plano \alpha paralelo ao plano \beta: 3 y+4 z+5=0 e que contém a reta r:(x, y, z)=(0,4,0)+t(0,4,-3). Calcule a medida do ângulo \theta formado entre o plano \beta e a reta s.
s: \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{3} ; z=3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A equação geral do plano \alpha que é paralelo ao plano
\beta: 3y + 4z + 5 = 0
e contém a reta
r: (x,y,z) = (0,4,0) + t\,(0,4,-3).
  1. O ângulo \theta formado entre o plano \beta e a reta
s: \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{3},\quad z=3.
Para resolver vamos usar:
  • Plano paralelo tem o mesmo vetor normal.
  • Equação de plano: n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0.
  • Ângulo entre reta e plano: \displaystyle \sin\theta = \frac{|n\cdot v|}{\|n\|\;\|v\|}, onde n é o normal do plano e v o vetor direção da reta.

Passo 2

Identificamos o vetor normal de \beta. Da equação
3y + 4z + 5 = 0
vemos que
n = (0,\,3,\,4).
Como \alpha é paralelo a \beta, seu normal também é n=(0,3,4).

Passo 3

Para encontrar a equação de \alpha, usamos um ponto de r. Em t=0 temos o ponto
P=(0,4,0).
A equação geral de \alpha é
0\,(x-0) + 3\,(y-4) + 4\,(z-0) = 0
ou, distribuindo,
3y -12 +4z = 0
Portanto,
\boxed{3y + 4z - 12 = 0.}

Passo 4

Agora, para o ângulo entre \beta e s, extraímos o vetor direção de s. Das simetrizações
\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{3} = \lambda,\quad z=3
vem
v = (4,\,3,\,0).

Passo 5

Aplicamos
\sin\theta = \frac{\bigl|n\cdot v\bigr|}{\|n\|\;\|v\|}.
Calculamos
n\cdot v = 0\cdot4 + 3\cdot3 + 4\cdot0 = 9, \quad \|n\| = \sqrt{0^2+3^2+4^2}=5, \quad \|v\| = \sqrt{4^2+3^2+0^2}=5.
Logo
\sin\theta = \frac{9}{5\cdot5} = \frac{9}{25}.
Assim,
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{9}{25}\bigr)\approx 21,06^\circ.

Resposta

A equação do plano \alpha é
3y + 4z - 12 = 0,
e o ângulo entre \beta e a reta s é
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{9}{25}\bigr)\approx 21,06^\circ.

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