Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,0), B(-4,-2,1) e C(0,0,1).

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço e pede a equação geral do plano que passa por eles. Os dados são:
  • A(2,1,0).
  • B(-4,-2,1).
  • C(0,0,1).
O que se pede:
  • Determinar a equação geral do plano que contém os pontos A, B e C.

Passo 2

Ideia básica (sem resolver ainda): um plano no espaço pode ser obtido a partir de um vetor normal \vec{n}=(a,b,c) e de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) do plano, pois sua equação é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Para achar \vec{n} podemos tomar dois vetores diretores do plano, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, e calcular o produto vetorial
\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Agora vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraindo coordenadas ponto a ponto:
\overrightarrow{AB}=B-A=(-4-2,\;-2-1,\;1-0)=(-6,\,-3,\;1).
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-2,\;0-1,\;1-0)=(-2,\,-1,\;1).

Passo 4

Fórmula do produto vetorial para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3):
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Aplicando com \vec{u}=\overrightarrow{AB}=(-6,-3,1) e \vec{v}=\overrightarrow{AC}=(-2,-1,1):
Calcule cada componente:
n_1 = (-3)\cdot 1 - 1\cdot(-1) = -3 -(-1) = -2,
n_2 = 1\cdot(-2) - (-6)\cdot 1 = -2 -(-6) = 4,
n_3 = (-6)\cdot(-1) - (-3)\cdot(-2) = 6 - 6 = 0.
Logo
\vec{n}=(-2,\,4,\,0).
Podemos simplificar esse vetor normal dividindo por -2 (ou por 2 com sinal), obtendo um normal mais simples:
\vec{n}=(1,\,-2,\,0).

Passo 5

Agora usamos a forma vetorial da equação do plano com \vec{n}=(a,b,c)=(1,-2,0) e um ponto do plano (por exemplo A(2,1,0)):
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo:
1\cdot(x-2)+(-2)\cdot(y-1)+0\cdot(z-0)=0.
Desenvolvendo:
x-2-2y+2=0 \quad\Rightarrow\quad x-2y=0.

Passo 6

Interpretando o resultado: a coordenada z não aparece na equação (coeficiente zero), isto significa que o plano é paralelo ao eixo z. Verificação rápida substituindo os três pontos:
  • Para A(2,1,0): 2-2\cdot1=0.
  • Para B(-4,-2,1): -4-2\cdot(-2)=-4+4=0.
  • Para C(0,0,1): 0-2\cdot0=0.
    Todos satisfazem a equação, então está correta.

Resposta

\,x-2y=0

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