Como \vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}| \cos (\theta),|\vec{u}| e |\vec{v}| são valores positivos, se
\vec{u} \cdot \vec{v}= positivo \Rightarrow \theta é um ângulo ______ pois está no ______ quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para completar a frase:
“Como \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta),|\vec{u}| e |\vec{v}| são valores positivos, se \vec{u}\cdot\vec{v}= positivo \Rightarrow \theta é um ângulo ______ pois está no ______ quadrante.”
Informações dadas:
  • \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta) (a relação entre produto escalar e o cosseno do ângulo).
  • |\vec{u}|>0 e |\vec{v}|>0 (módulos positivos).
  • O produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} é positivo.

Passo 2

Entendendo a fórmula e cada símbolo (passo-a-passo):
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • |\vec{u}| é o comprimento (módulo) de \vec{u}, número sempre não negativo; aqui informado que é positivo.
  • |\vec{v}| é o comprimento (módulo) de \vec{v}, também positivo.
  • \theta é o ângulo entre os vetores, normalmente tomado com 0\le \theta\le \pi.
    A fórmula diz que o sinal de \vec{u}\cdot\vec{v} é o mesmo do sinal de \cos(\theta) quando |\vec{u}| e |\vec{v}| são positivos, porque o produto desses módulos é positivo.

Passo 3

Relação entre sinal do produto escalar e do cosseno:
  • Se \vec{u}\cdot\vec{v}>0 e |\vec{u}|, |\vec{v}|>0, então \cos(\theta)>0.
  • Onde \cos(\theta)>0 no círculo trigonométrico? O cosseno é positivo quando o ângulo \theta tem coordenada x positiva no círculo — isto ocorre nos quadrantes I e IV, isto é para \theta em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) (nos termos do círculo completo).

Passo 4

Por que ficamos só com o primeiro quadrante:
  • Atenção importante: o ângulo \theta entre dois vetores é definido como o ângulo menor entre eles, e por convenção toma-se \theta\in[0,\pi].
  • Da observação anterior, \cos(\theta)>0 permitiria quadrantes I e IV, mas como \theta está restrito a [0,\pi], a região válida onde \cos(\theta)>0 é apenas 0\le \theta<\tfrac{\pi}{2}, que corresponde ao primeiro quadrante.
  • Um ângulo com 0\le \theta<\tfrac{\pi}{2} é chamado de ângulo agudo.

Passo 5

Conclusão final: como \vec{u}\cdot\vec{v}>0 e os módulos são positivos, isso implica \cos(\theta)>0 e, com a convenção \theta\in[0,\pi], resulta em 0\le \theta<\tfrac{\pi}{2}. Portanto, \theta é um ângulo agudo e está no primeiro quadrante.

Resposta

agudo
primeiro quadrante

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