Como
e
são valores positivos, se
positivo
é um ângulo ______ pois está no ______ quadrante.
Passo 1
O enunciado pede para completar a frase:
“Como e
são valores positivos, se
positivo
é um ângulo ______ pois está no ______ quadrante.”
“Como
Informações dadas:
-
(a relação entre produto escalar e o cosseno do ângulo). -
e (módulos positivos). - O produto escalar
é positivo.
Passo 2
Entendendo a fórmula e cada símbolo (passo-a-passo):
-
é o produto escalar entre os vetores e . -
é o comprimento (módulo) de , número sempre não negativo; aqui informado que é positivo. -
é o comprimento (módulo) de , também positivo. -
é o ângulo entre os vetores, normalmente tomado com .
A fórmula diz que o sinal deé o mesmo do sinal de quando e são positivos, porque o produto desses módulos é positivo.
Passo 3
Relação entre sinal do produto escalar e do cosseno:
- Se
e , , então . - Onde
no círculo trigonométrico? O cosseno é positivo quando o ângulo tem coordenada positiva no círculo — isto ocorre nos quadrantes I e IV, isto é para em (nos termos do círculo completo).
Passo 4
Por que ficamos só com o primeiro quadrante:
- Atenção importante: o ângulo
entre dois vetores é definido como o ângulo menor entre eles, e por convenção toma-se . - Da observação anterior,
permitiria quadrantes I e IV, mas como está restrito a , a região válida onde é apenas , que corresponde ao primeiro quadrante. - Um ângulo com
é chamado de ângulo agudo.
Passo 5
Conclusão final: como
e os módulos são positivos, isso implica
e, com a convenção
, resulta em
. Portanto,
é um ângulo agudo e está no primeiro quadrante.
Resposta
agudo
primeiro quadrante
primeiro quadrante