Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,-1,-2) e B(-1,2,1) e é paralelo ao vetor \vec{v}=2 \vec{\imath}-3 k.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,-1,-2) e B(-1,2,1) e que é paralelo ao vetor \vec{v}=2\vec{\imath}-3\vec{k}.
Informações dadas:
Ponto A com coordenadas (-3,-1,-2).
Ponto B com coordenadas (-1,2,1).
Vetor paralelo ao plano \vec{v} = 2\vec{\imath}-3\vec{k}.
O que se quer: a equação geral do plano (forma \,ax+by+cz+d=0\,) que satisfaz as condições acima.
Passo 2
Ideia geral (explicada passo a passo, bem didático):
Uma equação geral de plano tem a forma \,ax+by+cz+d=0\,, onde o vetor normal ao plano é \,(a,b,c). Esse vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano.
Se conseguimos dois vetores diretores que pertencem ao plano, o produto vetorial (cross product) desses dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos — ou seja, um vetor normal ao plano.
Aqui já temos um vetor diretor \vec{v} que é paralelo ao plano e podemos obter outro vetor diretor tomando \overrightarrow{AB} = \vec{B}-\vec{A} (pois A e B estão no plano).
Então calculamos \overrightarrow{AB}, representamos \vec{v} em coordenadas, fazemos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\vec{v} para obter o normal (a,b,c), e finalmente usamos um ponto do plano (por exemplo A) para achar d na equação \,ax+by+cz+d=0\,.
Vou aplicar esse procedimento detalhadamente.
Passo 3
Calcular o vetor \overrightarrow{AB}. Pela definição,
Simplificar o vetor normal. Um vetor normal pode ser multiplicado por qualquer escalar sem alterar o plano, então podemos dividir por 3 para reduzir os coeficientes:
(-9,\,12,\,-6) = 3\cdot(-3,\,4,\,-2).
Escolho o vetor normal simplificado
\vec{n}=(-3,\,4,\,-2).
Também é comum multiplicar por -1 para obter componentes mais “positivas”; multiplicando por -1 obtemos (3,-4,2), que também é um normal válido. Vou usar a forma (3,-4,2) porque deixa o primeiro coeficiente positivo — ambas são corretas.
Passo 7
Montar a equação do plano. Se \vec{n}=(a,b,c) é um vetor normal, a equação geral do plano é
ax+by+cz+d=0.
Usando \vec{n}=(3,-4,2) temos a=3, b=-4, c=2. Para encontrar d usamos que o plano passa por A(-3,-1,-2); substituindo as coordenadas de A na equação: