Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,-1,-2) e B(-1,2,1) e é paralelo ao vetor \vec{v}=2 \vec{\imath}-3 k.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,-1,-2) e B(-1,2,1) e que é paralelo ao vetor \vec{v}=2\vec{\imath}-3\vec{k}.
Informações dadas:
  • Ponto A com coordenadas (-3,-1,-2).
  • Ponto B com coordenadas (-1,2,1).
  • Vetor paralelo ao plano \vec{v} = 2\vec{\imath}-3\vec{k}.
O que se quer: a equação geral do plano (forma \,ax+by+cz+d=0\,) que satisfaz as condições acima.

Passo 2

Ideia geral (explicada passo a passo, bem didático):
  • Uma equação geral de plano tem a forma \,ax+by+cz+d=0\,, onde o vetor normal ao plano é \,(a,b,c). Esse vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano.
  • Se conseguimos dois vetores diretores que pertencem ao plano, o produto vetorial (cross product) desses dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos — ou seja, um vetor normal ao plano.
  • Aqui já temos um vetor diretor \vec{v} que é paralelo ao plano e podemos obter outro vetor diretor tomando \overrightarrow{AB} = \vec{B}-\vec{A} (pois A e B estão no plano).
  • Então calculamos \overrightarrow{AB}, representamos \vec{v} em coordenadas, fazemos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\vec{v} para obter o normal (a,b,c), e finalmente usamos um ponto do plano (por exemplo A) para achar d na equação \,ax+by+cz+d=0\,.
    Vou aplicar esse procedimento detalhadamente.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AB}. Pela definição,
\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}.
Usando coordenadas:
\overrightarrow{AB} = (-1,-,2,1) - (-3,-1,-2).
Fazendo componente a componente:
\overrightarrow{AB} = \bigl(-1 - (-3),\; 2 - (-1),\; 1 - (-2)\bigr).
Logo
\overrightarrow{AB} = (2,\,3,\,3).

Passo 4

Expressar o vetor \vec{v} em coordenadas. Pelo enunciado \vec{v}=2\vec{\imath}-3\vec{k}, isto é:
\vec{v} = (2,\,0,\,-3).
Aqui a componente y (coeficiente de \vec{\jmath}) é 0.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\vec{v} para obter um vetor normal ao plano.
Usando \overrightarrow{AB}=(2,3,3) e \vec{v}=(2,0,-3), o produto vetorial é dado pelo determinante:
\overrightarrow{AB}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\[4pt] 2 & 3 & 3 \\[4pt] 2 & 0 & -3 \end{vmatrix}.
Expandindo por co-fatores (com cuidado, passo a passo):
Componente \vec{\imath}:
\vec{\imath}\bigl(3\cdot(-3) - 3\cdot 0\bigr) = \vec{\imath}\cdot(-9).
Componente \vec{\jmath} (atenção ao sinal negativo da expansão):
-\vec{\jmath}\bigl(2\cdot(-3) - 3\cdot 2\bigr) = -\vec{\jmath}\bigl(-6 - 6\bigr) = -\vec{\jmath}\cdot(-12) = \vec{\jmath}\cdot 12.
Componente \vec{k}:
\vec{k}\bigl(2\cdot 0 - 3\cdot 2\bigr) = \vec{k}\cdot(-6).
Juntando:
\overrightarrow{AB}\times\vec{v} = (-9,\,12,\,-6).]

Passo 6

Simplificar o vetor normal. Um vetor normal pode ser multiplicado por qualquer escalar sem alterar o plano, então podemos dividir por 3 para reduzir os coeficientes:
(-9,\,12,\,-6) = 3\cdot(-3,\,4,\,-2).
Escolho o vetor normal simplificado
\vec{n}=(-3,\,4,\,-2).
Também é comum multiplicar por -1 para obter componentes mais “positivas”; multiplicando por -1 obtemos (3,-4,2), que também é um normal válido. Vou usar a forma (3,-4,2) porque deixa o primeiro coeficiente positivo — ambas são corretas.

Passo 7

Montar a equação do plano. Se \vec{n}=(a,b,c) é um vetor normal, a equação geral do plano é
ax+by+cz+d=0.
Usando \vec{n}=(3,-4,2) temos a=3, b=-4, c=2. Para encontrar d usamos que o plano passa por A(-3,-1,-2); substituindo as coordenadas de A na equação:
3\cdot(-3) + (-4)\cdot(-1) + 2\cdot(-2) + d = 0.
Calcular cada termo:
-9 + 4 -4 + d = 0 \quad\Rightarrow\quad -9 + 4 -4 = -9.
Portanto
-9 + d = 0 \quad\Rightarrow\quad d=9.
Assim a equação do plano é
3x -4y +2z +9 = 0.

Passo 8

Verificações rápidas (para garantir que não houve erro):
  • Substituir B(-1,2,1):
3(-1) -4(2) +2(1) +9 = -3 -8 +2 +9 = 0,
logo B está no plano.
  • Verificar que \vec{v}=(2,0,-3) é paralelo ao plano: calcular o produto escalar \vec{n}\cdot\vec{v}:
(3,-4,2)\cdot(2,0,-3) = 3\cdot 2 + (-4)\cdot 0 + 2\cdot(-3) = 6 + 0 -6 = 0,
o que confirma que \vec{v} é ortogonal ao normal e portanto paralelo ao plano. Tudo consistente.

Resposta

3x-4y+2z+9=0

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