Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos eque contém os pontos e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a equação geral de um plano que é paralelo ao eixo dos e que passa pelos pontos e . Vamos usar geometria analítica para resolver isso. Precisamos entender o que significa ser paralelo ao eixo e como usar os pontos dados para encontrar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser paralelo ao eixo . Um plano paralelo ao eixo significa que o eixo está contido no plano ou, seja, a direção do eixo é uma direção livre dentro do plano. Isso implica que o vetor diretor do eixo () está no plano.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um vetor que está no plano usando os pontos e . A gente calcula o vetor que vai de para :
Então, está no plano.
Passo 4
Sabemos que o vetor diretor do eixo () também está no plano. Para encontrar o vetor normal ao plano (), que é perpendicular ao plano, a gente pode usar o produto vetorial entre e o vetor diretor do eixo .
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial:
n = i(0) - j(0 + 1) + k(0 + 2) = (0, -1, 2)
Então, o vetor normal ao plano é n = (0, -1, 2).
Passo 6
Com o vetor normal n = (0, -1, 2) e um ponto no plano, por exemplo, o ponto A(-2, 0, 2), podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
n cdot ( r - r0 ) = 0
Onde r = (x, y, z) é um ponto qualquer no plano e r0 = (-2, 0, 2) é o ponto A.
Passo 7
Vamos substituir os valores na equação:
(0, -1, 2) cdot ( (x, y, z) - (-2, 0, 2) ) = 0
(0, -1, 2) cdot (x + 2, y, z - 2) = 0
Expandindo o produto escalar:
0 cdot (x + 2) + (-1) cdot y + 2 cdot (z - 2) = 0
0 - y + 2z - 4 = 0
Passo 8
Simplificando a equação:
- y + 2z - 4 = 0
Podemos rearrumar para deixar a equação mais bonita: