Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos x eque contém os pontos A(-2,0,2) e B(0,-2,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a equação geral de um plano que é paralelo ao eixo dos x e que passa pelos pontos A(-2, 0, 2) e B(0, -2, 1). Vamos usar geometria analítica para resolver isso. Precisamos entender o que significa ser paralelo ao eixo x e como usar os pontos dados para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser paralelo ao eixo x. Um plano paralelo ao eixo x significa que o eixo x está contido no plano ou, seja, a direção do eixo x é uma direção livre dentro do plano. Isso implica que o vetor diretor do eixo x ( 1, 0, 0) está no plano.

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor que está no plano usando os pontos A e B. A gente calcula o vetor AB que vai de A para B:
AB = B - A = (0 - (-2), -2 - 0, 1 - 2) = (2, -2, -1)
Então, AB = (2, -2, -1) está no plano.

Passo 4

Sabemos que o vetor diretor do eixo x ( 1, 0, 0) também está no plano. Para encontrar o vetor normal ao plano ( n), que é perpendicular ao plano, a gente pode usar o produto vetorial entre AB e o vetor diretor do eixo x.
n = AB times d = (2, -2, -1) times (1, 0, 0)

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial:
n = i & j & k 2 & -2 & -1 1 & 0 & 0 = i( -2 cdot 0 - (-1) cdot 0 ) - j( 2 cdot 0 - (-1) cdot 1 ) + k( 2 cdot 0 - (-2) cdot 1 )
n = i(0) - j(0 + 1) + k(0 + 2) = (0, -1, 2)
Então, o vetor normal ao plano é n = (0, -1, 2).

Passo 6

Com o vetor normal n = (0, -1, 2) e um ponto no plano, por exemplo, o ponto A(-2, 0, 2), podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
n cdot ( r - r0 ) = 0
Onde r = (x, y, z) é um ponto qualquer no plano e r0 = (-2, 0, 2) é o ponto A.

Passo 7

Vamos substituir os valores na equação:
(0, -1, 2) cdot ( (x, y, z) - (-2, 0, 2) ) = 0
(0, -1, 2) cdot (x + 2, y, z - 2) = 0
Expandindo o produto escalar:
0 cdot (x + 2) + (-1) cdot y + 2 cdot (z - 2) = 0
0 - y + 2z - 4 = 0

Passo 8

Simplificando a equação:
- y + 2z - 4 = 0
Podemos rearrumar para deixar a equação mais bonita:
y - 2z + 4 = 0

Resposta

A equação geral do plano é y - 2z + 4 = 0 .

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