Nos problemas a seguir apresentarei um conjunto munido com as operações adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são justifique utilizando a condição da definição que não é satisfeita.
R^3, munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se R^3, com a adição e a multiplicação por escalar usuais (isto é, soma e produto em cada componente), forma um espaço vetorial. O conteúdo aqui é a definição de espaço vetorial sobre R, que exige que um conjunto e suas operações satisfaçam certas propriedades (axiomas).

Passo 2

Relembrando os axiomas de espaço vetorial (listados de forma hardcoded para evitar indentação problemática):
1. Fechamento na adição: para todo u,vinR^3, tem-se u+vinR^3.
2. Comutatividade da adição: u+v=v+u.
3. Associatividade da adição: (u+v)+w=u+(v+w).
4. Existência do vetor nulo: existe 0inR^3 tal que u+0=u.
5. Existência de inverso aditivo: para cada u existe -u com u+(-u)=0.
6. Fechamento na multiplicação por escalar: para todo alphainR e uinR^3, alpha uinR^3.
7. Distributividade escalar sobre soma de vetores: alpha(u+v)=alpha u+alpha v.
8. Distributividade de soma de escalares: (alpha+beta)u=alpha u+beta u.
9. Compatibilidade da multiplicação de escalares: (alphabeta)u=alpha(beta u).
10. Existência do escalar unitário: 1cdot u=u.

Passo 3

Nas operações usuais em R^3 cada vetor é um triplo (x,y,z) e
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
alpha,(x,y,z)=(alpha x,;alpha y,;alpha z)
Como R já satisfaz todos os axiomas de corpo, todas as propriedades acima passam a valer componente a componente. Por exemplo, a comutatividade da adição de vetores decorre da comutatividade em R: x1+x2=x2+x1, e assim por diante para os demais axiomas.

Resposta

R^3 munido das operações usuais é, de fato, um espaço vetorial sobre R.

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