Nos problemas a seguir apresentarei um conjunto munido com as operações adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são justifique utilizando a condição da definição que não é satisfeita.
, munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
, com a adição e a multiplicação por escalar usuais (isto é, soma e produto em cada componente), forma um espaço vetorial. O conteúdo aqui é a definição de espaço vetorial sobre
, que exige que um conjunto e suas operações satisfaçam certas propriedades (axiomas).
Passo 2
Relembrando os axiomas de espaço vetorial (listados de forma hardcoded para evitar indentação problemática):
1. Fechamento na adição: para todo
, tem-se
.
2. Comutatividade da adição: .
3. Associatividade da adição: .
4. Existência do vetor nulo: existe tal que
.
5. Existência de inverso aditivo: para cada existe
com
.
6. Fechamento na multiplicação por escalar: para todo e
,
.
7. Distributividade escalar sobre soma de vetores: .
8. Distributividade de soma de escalares: .
9. Compatibilidade da multiplicação de escalares: .
10. Existência do escalar unitário: .
2. Comutatividade da adição:
3. Associatividade da adição:
4. Existência do vetor nulo: existe
5. Existência de inverso aditivo: para cada
6. Fechamento na multiplicação por escalar: para todo
7. Distributividade escalar sobre soma de vetores:
8. Distributividade de soma de escalares:
9. Compatibilidade da multiplicação de escalares:
10. Existência do escalar unitário:
Passo 3
Nas operações usuais em
cada vetor é um triplo
e
Como
já satisfaz todos os axiomas de corpo, todas as propriedades acima passam a valer componente a componente. Por exemplo, a comutatividade da adição de vetores decorre da comutatividade em
:
, e assim por diante para os demais axiomas.