Nos problemas a seguir apresentarei um conjunto munido com as operações adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são justifique utilizando a condição da definição que não é satisfeita.
com
, munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar em
, e pede para verificar se isso forma um espaço vetorial sobre o corpo
.
Para ser espaço vetorial, precisamos checar que as seguintes propriedades são satisfeitas:
Para ser espaço vetorial, precisamos checar que as seguintes propriedades são satisfeitas:
- (Axiomas de adição) fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e de inverso aditivo.
- (Axiomas de escalar-vetor) fechamento, associatividade da multiplicação escalar, existência do escalar
agindo como identidade, e as duas distributividades
e .
Passo 2
Verificação dos axiomas de adição em
:
- Fechamento: se
e estão em , então - Comutatividade e associatividade seguem porque a soma de reais é comutativa e associaliva coordenada a coordenada.
- Neutro aditivo: o vetor
satisfaz . - Inverso aditivo: para
, o vetor satisfaz .
Assim,
é um grupo abeliano.
Passo 3
Verificação dos axiomas envolvendo multiplicação por escalar em
:
- Fechamento: para
e , - Distributividade escalar-vetor:
- Distributividade escalar-escalar:
- Compatibilidade (associatividade) de escalares:
- Identidade escalar:
Todos esses itens valem porque cada componente é um real e as propriedades de soma e multiplicação em
garantem as mesmas em
.