Nos problemas a seguir apresentarei um conjunto munido com as operações adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são justifique utilizando a condição da definição que não é satisfeita.
R^n com n in N, munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto R^n munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar em R, e pede para verificar se isso forma um espaço vetorial sobre o corpo R.
Para ser espaço vetorial, precisamos checar que as seguintes propriedades são satisfeitas:
  1. (Axiomas de adição) fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e de inverso aditivo.
  2. (Axiomas de escalar-vetor) fechamento, associatividade da multiplicação escalar, existência do escalar 1 agindo como identidade, e as duas distributividades
    lambda(u+v)=lambda u+lambda v e (lambda+mu)v=lambda v+mu v.

Passo 2

Verificação dos axiomas de adição em R^n:
  • Fechamento: se u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) estão em R^n, então u+v=(u1+v1,dots,un+vn)inR^n
  • Comutatividade e associatividade seguem porque a soma de reais é comutativa e associaliva coordenada a coordenada.
  • Neutro aditivo: o vetor 0=(0,dots,0) satisfaz u+0=u.
  • Inverso aditivo: para uinR^n, o vetor -u=(-u1,dots,-un) satisfaz u+(-u)=0.
Assim, (R^n,+) é um grupo abeliano.

Passo 3

Verificação dos axiomas envolvendo multiplicação por escalar em R^n:
  • Fechamento: para lambdainR e v=(v1,dots,vn), lambda v=(lambda v1,dots,lambda vn)inR^n
  • Distributividade escalar-vetor: lambda(u+v) =(lambda(u1+v1),dots) =(lambda u1+lambda v1,dots) =lambda u+lambda v
  • Distributividade escalar-escalar: (lambda+mu)v =((lambda+mu)v1,dots) =(lambda v1+mu v1,dots) =lambda v+mu v
  • Compatibilidade (associatividade) de escalares: (lambdamu)v =((lambdamu)v1,dots) =lambda(mu v1,dots) =lambda(mu v)
  • Identidade escalar: 1cdot v =(1cdot v1,dots,1cdot vn) =v
Todos esses itens valem porque cada componente é um real e as propriedades de soma e multiplicação em R garantem as mesmas em R^n.

Resposta

R^n com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é, de fato, um espaço vetorial sobre R.

Exercícios relacionados