Nos problemas a seguir apresentarei um conjunto munido com as operações adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são justifique utilizando a condição da definição que não é satisfeita.
 , munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto 
  com as operações usuais de 
 . O que queremos verificar é se 
  satisfaz as propriedades de espaço vetorial, ou equivalentemente, se é subespaço de 
 . Para tanto, basta mostrar que (i) o vetor zero de 
  está em 
 , (ii) 
  é fechado sob adição e (iii) 
  é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação da presença do vetor zero e de inversos: o vetor zero de 
  é 
  e satisfaz 
 , logo 
 . Além disso, para qualquer 
 , seu inverso aditivo em 
  é 
 , que também pertence a 
 .
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam 
  e 
  elementos arbitrários de 
 . A soma em 
  é
onde claramente o segundo componente é zero, de modo que 
 .
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: seja 
  e 
 . A multiplicação escalar em 
  é
onde novamente o segundo componente é zero, logo 
 .