Nos problemas a seguir apresentarei um conjunto munido com as operações adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são justifique utilizando a condição da definição que não é satisfeita.
W=(x, y) in R^2 ; y=0, munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto W = (x,y)in R^2 mid y=0 com as operações usuais de R^2. O que queremos verificar é se W satisfaz as propriedades de espaço vetorial, ou equivalentemente, se é subespaço de R^2. Para tanto, basta mostrar que (i) o vetor zero de R^2 está em W, (ii) W é fechado sob adição e (iii) W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação da presença do vetor zero e de inversos: o vetor zero de R^2 é (0,0) e satisfaz 0=0, logo (0,0)in W. Além disso, para qualquer (x,0)in W, seu inverso aditivo em R^2 é (-x,-0)=(-x,0), que também pertence a W.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam (x1,0) e (x2,0) elementos arbitrários de W. A soma em R^2 é
(x1,0)+(x2,0)=(x1+x2,;0+0)=(x1+x2,0),
onde claramente o segundo componente é zero, de modo que (x1+x2,0)in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja alphainR e (x,0)in W. A multiplicação escalar em R^2 é
alphacdot(x,0)=(alpha x,;alphacdot 0)=(alpha x,0),
onde novamente o segundo componente é zero, logo (alpha x,0)in W.

Resposta

W é um subespaço de R^2 e, portanto, é um espaço vetorial.

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