Nos problemas a seguir apresentarei um conjunto munido com as operações adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são justifique utilizando a condição da definição que não é satisfeita.
, munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
com as operações usuais de
. O que queremos verificar é se
satisfaz as propriedades de espaço vetorial, ou equivalentemente, se é subespaço de
. Para tanto, basta mostrar que (i) o vetor zero de
está em
, (ii)
é fechado sob adição e (iii)
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação da presença do vetor zero e de inversos: o vetor zero de
é
e satisfaz
, logo
. Além disso, para qualquer
, seu inverso aditivo em
é
, que também pertence a
.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
e
elementos arbitrários de
. A soma em
é
onde claramente o segundo componente é zero, de modo que
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
. A multiplicação escalar em
é
onde novamente o segundo componente é zero, logo
.