Determine as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas e , e é ortogonal ao plano que contém as retas e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica onde precisa encontrar as equações reduzidas de uma reta que passa pelo ponto de interseção das retas e , e que é perpendicular (ou ortogonal) ao plano que contém essas duas retas. Para resolver isso, vamos precisar achar o ponto onde as retas se encontram, descobrir o vetor normal do plano que contém elas e, por fim, usar essas informações para encontrar a equação da reta que tá perpendicular ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas [r) e . A reta está dada na forma simétrica:
E a reta está definida pelas equações paramétricas:
Vamos igualar as expressões de para encontrar o valor de que faz as duas retas se encontrarem.
Passo 3
Da reta , temos:
Substituindo e pelas expressões da reta :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação:
Distribuindo:
Isolando :
Passo 5
Com , encontramos e usando as equações da reta :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 6
Agora, precisamos determinar o plano que contém as retas e . Para isso, vamos achar dois vetores diretores dessas retas e calcular o vetor normal ao plano.
A reta tem vetor diretor:
E a reta s tem vetor diretor:
ds = 1 2 4
Passo 7
O vetor normal ao plano n é o produto vetorial entre dr e ds :
A reta que queremos encontrar é perpendicular ao plano, então seu vetor diretor é paralelo ao vetor normal n . Assim, o vetor diretor da reta t é n = -26 3 5 .
Usando o ponto P(2, 1, -2) e o vetor diretor, a equação paramétrica da reta t fica:
t: x = 2 - 26lambda y = 1 + 3lambda z = -2 + 5lambda
Passo 9
Podemos também escrever as equações reduzidas da reta t em forma simétrica: