Determine as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r e s, e é ortogonal ao plano que contém as retas r e s.
r:x=7-y3=12-z7 s:l y=2 x-3 z=4 x-10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica onde precisa encontrar as equações reduzidas de uma reta que passa pelo ponto de interseção das retas r e s , e que é perpendicular (ou ortogonal) ao plano que contém essas duas retas. Para resolver isso, vamos precisar achar o ponto onde as retas se encontram, descobrir o vetor normal do plano que contém elas e, por fim, usar essas informações para encontrar a equação da reta que tá perpendicular ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas [r) e . A reta está dada na forma simétrica:
E a reta está definida pelas equações paramétricas:
Vamos igualar as expressões de para encontrar o valor de que faz as duas retas se encontrarem.

Passo 3

Da reta r , temos:
7 - y3 = 12 - z7
Substituindo y e z pelas expressões da reta s :
7 - (2x - 3)3 = 12 - (4x - 10)7
Simplificando:
10 - 2x3 = 22 - 4x7

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação:
7(10 - 2x) = 3(22 - 4x)
Distribuindo:
70 - 14x = 66 - 12x
Isolando x :
70 - 66 = -12x + 14x
4 = 2x implies x = 2

Passo 5

Com x = 2 , encontramos y e z usando as equações da reta s :
y = 2(2) - 3 = 1
z = 4(2) - 10 = -2
Então, o ponto de interseção é P(2, 1, -2) .

Passo 6

Agora, precisamos determinar o plano que contém as retas r e s . Para isso, vamos achar dois vetores diretores dessas retas e calcular o vetor normal ao plano.
A reta r tem vetor diretor:
dr = 1 -3 7
E a reta s tem vetor diretor:
ds = 1 2 4

Passo 7

O vetor normal ao plano n é o produto vetorial entre dr e ds :
n = dr times ds = i & j & k 1 & -3 & 7 1 & 2 & 4
Calculando o determinante:
n = i((-3)(4) - (7)(2)) - j((1)(4) - (7)(1)) + k((1)(2) - (-3)(1)) = -26 -(-3) 5 = -26 3 5

Passo 8

A reta que queremos encontrar é perpendicular ao plano, então seu vetor diretor é paralelo ao vetor normal n . Assim, o vetor diretor da reta t é n = -26 3 5 .
Usando o ponto P(2, 1, -2) e o vetor diretor, a equação paramétrica da reta t fica:
t: x = 2 - 26lambda y = 1 + 3lambda z = -2 + 5lambda

Passo 9

Podemos também escrever as equações reduzidas da reta t em forma simétrica:
x - 2-26 = y - 13 = z + 25

Resposta

As equações reduzidas da reta são:
x - 2-26 = y - 13 = z + 25

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