Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(-3,2,1) e contém a reta
r:l x=4 y=3

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelo ponto
ou seja, a reta paralela ao eixo . Para achar o plano, vamos precisar de dois vetores diretores contidos nele, obter o vetor normal via produto vetorial e em seguida escrever a equação.

Passo 2

Primeiro, parametrize a reta r. Tomando parâmetro t, temos
r(t)=(4,3,t),
logo um vetor diretor é
v=(0,0,1)
Escolhemos também um ponto da reta, por exemplo
P0=(4,3,0)
Em seguida, formamos o vetor que liga A a P0:
AP0=P0 - A = (4 - (-3),,3 - 2,,0 - 1)=(7,1,-1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é perpendicular a ambos v e AP0, então
n = v times AP0 = i & j & k 0 & 0 & 1 7 & 1 & -1 =(-1,,7,,0)
Podemos simplificar multiplicando por -1 e usar
n=(1,-7,0)

Passo 4

A equação do plano com normal n=(a,b,c) passando por A(x0,y0,z0) é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Aqui a=1, b=-7, c=0 e (x0,y0,z0)=(-3,2,1). Substituindo,
1,(x+3) -7,(y-2) +0,(z-1)=0 Longrightarrow x+3 -7y+14=0 Longrightarrow x -7y +17=0

Resposta

x -7y +17 = 0

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