O sistema homogêneo A x=0 terá soluçâo única sempre que:
(A) as colunas de A formarem um conjunto LD
(W) as colunas de A formarem um conjunto LI.
(C) as linhas de A formarem um conjunto LI.
(D) as linhas de A formarem um conjunto LD.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pergunta: para o sistema homogêneo
Ax = 0
quando ele tem solução única?
Conteúdo: espaços vetoriais e combinação linear, mais precisamente as noções de dependência linear (LD) e independência linear (LI) das colunas de A. Vamos usar a relação entre soluções de Ax=0 e combinações lineares de suas colunas.

Passo 2

Escrevendo A=[a1,a2,dots,an] e x=(x1,dots,xn)^T, o sistema
Ax=0
é equivalente a
x1a1 + x2a2 + cdots + xnan = 0
Assim, qualquer vetor solução não trivial xneq0 corresponde a uma combinação linear não trivial das colunas de A que dá zero.

Passo 3

Por definição, as colunas a1,dots,an são linearmente independentes (LI) se
alpha1a1 + cdots + alphanan = 0
implica alpha1=cdots=alphan=0. Se elas fossem LD, existir-ia uma combinação não trivial que some a zero, correspondendo a uma solução não trivial de Ax=0.

Passo 4

Portanto, não haver solução não trivial (isto é, haver só a solução trivial ) é equivalente a dizer que as colunas de são LI. Em termos de posto, e, por consequência, .

Resposta

(W) as colunas de A formarem um conjunto LI.

Exercícios relacionados