Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
x^2+y^2+z^2=6 x-4 y-10 z.

Passo 1

O enunciado dá a equação
,x^2+y^2+z^2=6x-4y-10z
e pede para mostrarmos que ela representa uma esfera, além de determinar seu centro e seu raio. Para isso, vamos usar a forma padrão de uma esfera em R^3,
(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2,
e aplicar o método de completar o quadrado nos termos de x, y e z.

Passo 2

Trazendo todos os termos para o lado esquerdo, obtemos
x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 + 10z = 0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada variável:
x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2,
y^2 + 4y + 4 = (y+2)^2,
z^2 + 10z + 25 = (z+5)^2
Como adicionamos 9, 4 e 25 ao lado esquerdo, precisamos somá-los também no lado direito da igualdade. Assim chegamos a
(x-3)^2 + (y+2)^2 + (z+5)^2 = 9 + 4 + 25 = 38

Passo 4

Comparando com
(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2,
vemos que
a = 3, b = -2, c = -5,
e
r = raiz38

Resposta

A equação representa uma esfera de centro (3,-2,-5) e raio raiz38.

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