Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
2 x^2+2 y^2+2 z^2-2 x+4 y+1=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície no espaço tridimensional definida por
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2x + 4y + 1 = 0
O objetivo é mostrar que isso é a equação de uma esfera, ou seja, que pode ser posta na forma
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2,
e então identificar o centro (a,b,c) e o raio R. Para isso, vamos dividir por 2 e completar quadrados em x, y e z.

Passo 2

Dividindo toda a equação por 2 para facilitar os cálculos, obtemos
x^2 + y^2 + z^2 - x + 2y + tfrac12 = 0

Passo 3

Agora agrupamos termos em x, y e z e completamos quadrados:
em x:
x^2 - x = l(x - tfrac12r)^2 - tfrac14,
em y:
y^2 + 2y = l(y + 1r)^2 - 1,
em z:
z^2 = l(z - 0r)^2
Substituindo esses resultados na equação dividida, fica
l(x - tfrac12r)^2 - tfrac14 + l(y + 1r)^2 - 1 + l(z - 0r)^2 + tfrac12 = 0

Passo 4

Juntando as constantes -tfrac14 -1 + tfrac12 = -tfrac34, a equação vira
l(x - tfrac12r)^2 + l(y + 1r)^2 + z^2 - tfrac34 = 0 Longrightarrow l(x - tfrac12r)^2 + l(y + 1r)^2 + z^2 = tfrac34
Isto está exatamente na forma padrão de uma esfera de raio raiztfrac34 e centro l(tfrac12,,-1,,0r).

Resposta

A equação representa uma esfera de centro l(tfrac12,,-1,,0r) e raio tfracraiz32.

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