Determinar a equação geral do plano:
Perpendicular a reta
de equações paramétricas
,
.
Perpendicular a reta
Passo 1
O enunciado dá a reta
por suas equações paramétricas:
O que se pede: determinar a(s) equação(ões) do plano que é(m) perpendicular(is) à reta
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As equações paramétricas da reta
são , , . - Um vetor diretor da reta
pode ser lido diretamente dos coeficientes de . (Não se resolve nada neste passo, apenas enumerei a informação dada.)
Passo 2
Vamos extrair o vetor diretor da reta
. A forma paramétrica
, pode ser reescrita como ponto mais parâmetro vezes vetor diretor:
Portanto o vetor diretor da reta é
Explicando devagar: o vetor diretor
é o que multiplica
; ele indica a direção na qual a reta cresce quando
varia. Aqui os componentes são
em
,
em
e
em
.
Passo 3
Entender o que significa "plano perpendicular à reta
".
Definição útil e prática para a prova: se uma reta é perpendicular a um plano, então o vetor diretor da reta é um vetor normal do plano (ou seja, é perpendicular a todo vetor que esteja no plano). Assim, podemos usar como vetor normal do plano.
Definição útil e prática para a prova: se uma reta é perpendicular a um plano, então o vetor diretor da reta é um vetor normal do plano (ou seja, é perpendicular a todo vetor que esteja no plano). Assim, podemos usar
A equação de um plano com vetor normal
que passa pelo ponto
é
Aqui
são as componentes do vetor normal (explicando:
multiplica a variação em
, etc.) e
é um ponto qualquer que pertence ao plano.
Passo 4
Construir uma equação particular escolhendo um ponto da reta
. Um ponto simples da reta é o correspondente a
:
Usamos o vetor normal
e o ponto
na fórmula ponto-normal:
Agora simplificar passo a passo:
Essa é uma equação de um plano perpendicular a
e que passa por
. Mas ainda não é a forma mais geral: qualquer plano perpendicular a
terá
como normal, mas pode interceptar
em outro ponto.
Passo 5
Obter a equação geral (família) de todos os planos perpendiculares a
. Um plano qualquer com normal
tem equação da forma
onde
é uma constante real. Vamos mostrar que, para qualquer
, esse plano é perpendicular a
e intersecta
(ou seja, corresponde a algum ponto de interseção com a reta). Substituindo na equação do plano as coordenadas da reta
:
Simplificando:
Isso dá
que é um número real para qualquer
. Portanto para todo
existe um
tal que o ponto
pertence ao plano; logo cada equação
define um plano que é perpendicular a
. Assim a família completa de planos perpendiculares a
é