Determinar a equação geral do plano:
Perpendicular a reta r de equações paramétricas x=t, y=2-t, z=3+2 t.

Passo 1

O enunciado dá a reta r por suas equações paramétricas:
x=t,\qquad y=2-t,\qquad z=3+2t.
O que se pede: determinar a(s) equação(ões) do plano que é(m) perpendicular(is) à reta r.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As equações paramétricas da reta r são x=t, y=2-t, z=3+2t.
  • Um vetor diretor da reta r pode ser lido diretamente dos coeficientes de t. (Não se resolve nada neste passo, apenas enumerei a informação dada.)

Passo 2

Vamos extrair o vetor diretor da reta r. A forma paramétrica \,x=t,\;y=2-t,\;z=3+2t, pode ser reescrita como ponto mais parâmetro vezes vetor diretor:
(x,y,z)=(0,2,3)+t(1,-1,2).
Portanto o vetor diretor da reta é
\mathbf{v}=(1,-1,2).
Explicando devagar: o vetor diretor \mathbf{v} é o que multiplica t; ele indica a direção na qual a reta cresce quando t varia. Aqui os componentes são \,1 em x, -1 em y e 2 em z.

Passo 3

Entender o que significa "plano perpendicular à reta r".
Definição útil e prática para a prova: se uma reta é perpendicular a um plano, então o vetor diretor da reta é um vetor normal do plano (ou seja, é perpendicular a todo vetor que esteja no plano). Assim, podemos usar \mathbf{v}=(1,-1,2) como vetor normal do plano.
A equação de um plano com vetor normal (A,B,C) que passa pelo ponto (x_0,y_0,z_0) é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui A,B,C são as componentes do vetor normal (explicando: A multiplica a variação em x, etc.) e (x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer que pertence ao plano.

Passo 4

Construir uma equação particular escolhendo um ponto da reta r. Um ponto simples da reta é o correspondente a t=0:
P_0=(0,2,3).
Usamos o vetor normal \mathbf{v}=(1,-1,2) e o ponto P_0 na fórmula ponto-normal:
1\,(x-0)+(-1)\,(y-2)+2\,(z-3)=0.
Agora simplificar passo a passo:
x - (y-2) + 2z -6 = 0,
x - y +2 +2z -6 = 0,
x - y + 2z -4 = 0.
Essa é uma equação de um plano perpendicular a r e que passa por P_0. Mas ainda não é a forma mais geral: qualquer plano perpendicular a r terá (1,-1,2) como normal, mas pode interceptar r em outro ponto.

Passo 5

Obter a equação geral (família) de todos os planos perpendiculares a r. Um plano qualquer com normal (1,-1,2) tem equação da forma
x - y + 2z + D = 0,
onde D é uma constante real. Vamos mostrar que, para qualquer D\in\mathbb{R}, esse plano é perpendicular a r e intersecta r (ou seja, corresponde a algum ponto de interseção com a reta). Substituindo na equação do plano as coordenadas da reta r(t):
t - (2-t) + 2(3+2t) + D = 0.
Simplificando:
t -2 + t +6 +4t + D = 0,
6t + 4 + D = 0.
Isso dá
t = -\dfrac{4+D}{6},
que é um número real para qualquer D. Portanto para todo D existe um t tal que o ponto r(t) pertence ao plano; logo cada equação x - y + 2z + D = 0 define um plano que é perpendicular a r. Assim a família completa de planos perpendiculares a r é
x - y + 2z + D = 0,\qquad D\in\mathbb{R}.

Resposta

x - y + 2z + D = 0,\\ D\in\mathbb{R}

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