Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas:
s: x-32=-2 y4=z+3 e r: x=2 y-4410=z+8-2, e que passa pelo ponto P(2,3,5);

Passo 1

O enunciado pede a reta t que passa por P(2,3,5) e é perpendicular a cada uma das retas
s:x-32=-2y4=z+3
e
r:x=2y-4410=z+8-2
Como a perpendicularidade em espaço exige que o vetor diretor de t seja ortogonal aos vetores diretores de s e de r, vamos encontrar esses vetores e usar o produto vetorial para obter a direção de t.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de s e de r:
Para s temos
x-32=lambda;Rightarrow;x=3+2lambda, -2y4=lambda;Rightarrow;y=-2lambda, z+3=lambda;Rightarrow;z=-3+lambda
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vs=(2,,-2,,1)
Para r tomamos
x=mu, 2y-4410=mu;Rightarrow;y=5mu+22, z+8-2=mu;Rightarrow;z=-8-2mu
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vr=(1,,5,,-2)

Passo 3

O vetor diretor de t, digamos vt, deve satisfazer
vtcdotvs=0 e vtcdotvr=0. Um modo direto é usar o produto vetorial:
vt ;=;vstimesvr = i&j&k 2&-2&1 1&5&-2 =l(-1,;5,;12r)

Passo 4

Agora escrevemos as equações paramétricas da reta t que passa por P(2,3,5) e tem vetor diretor vt=(-1,5,12). Se chamarmos o parâmetro de t, então
x=2 - t, y=3 + 5t, z=5 + 12t

Resposta

boxedx=2 - t, y=3 + 5t, z=5 + 12t

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