Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
contém as retas r: x-73=y-22=z-1-2 e s: x-12=y+2-3=z-54;

Passo 1

O enunciado fornece duas retas no espaço
r: x-73=y-22=z-1-2
e
s: x-12=y+2-3=z-54,
e pede a equação geral do plano que as contém.
Conteúdo: geometria analítica no espaço.
Estratégia:
  1. Verificar se as retas se intersectam (ou são paralelas).
  2. Se intersectam, obter o ponto comum P e os vetores direção vec dr e vec ds.
  3. Calcular um vetor normal vec n ao plano como vec drtimesvec ds.
  4. Usar a forma ponto-normal do plano e expandir para a equação geral.

Passo 2

Escrevendo as retas em forma paramétrica temos
Das duas primeiras equações obtém-se .
Substituindo na terceira confirma-se que também vale.
Logo as retas se intersectam no ponto

Passo 3

Os vetores direção são
vec dr=(3,2,-2) e vec ds=(2,-3,4).
Um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
vec n ;=;vec dr times vec ds = i & j & k 3 & 2 & -2 2 & -3 & 4 =(2,,-16,,-13)

Passo 4

A forma ponto-normal do plano é
(vec r - vec r0)cdot vec n = 0,
onde vec r=(x,y,z) e vec r0=P=(1,-2,5).
Então
(x-1,y+2,z-5)cdot(2,-16,-13)=0
Expandindo:
2(x-1);-;16(y+2);-;13(z-5)=0
2x-2-16y-32-13z+65=0
2x-16y-13z+31=0

Resposta

A equação geral do plano que contém as retas r e s é
boxed2x ;-;16y ;-;13z ;+;31 ;=;0

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