Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
contém as retas
e
;
contém as retas
Passo 1
O enunciado fornece duas retas no espaço
e
,
e pede a equação geral do plano que as contém.
Conteúdo: geometria analítica no espaço.
Estratégia:
e
e pede a equação geral do plano que as contém.
Conteúdo: geometria analítica no espaço.
Estratégia:
- Verificar se as retas se intersectam (ou são paralelas).
- Se intersectam, obter o ponto comum
e os vetores direção e . - Calcular um vetor normal
ao plano como . - Usar a forma ponto-normal do plano e expandir para a equação geral.
Passo 2
Escrevendo as retas em forma paramétrica temos
Das duas primeiras equações obtém-se .
Substituindo na terceira confirma-se que também vale.
Logo as retas se intersectam no ponto
Logo as retas se intersectam no ponto
Passo 3
Os vetores direção são
e
.
Um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
Um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
Passo 4
A forma ponto-normal do plano é
onde
vec r=(x,y,z) e
vec r0=P=(1,-2,5) .
Então
Então
Expandindo:
Resposta
A equação geral do plano que contém as retas
r e
s é