Sabendo que u+v+w=0,|u|=3 / 2,|v|=1 / 2 e |w|=2. Calcule u cdot v+v cdot w+w cdot u.

Passo 1

O enunciado dá vec u+vec v+vec w=0 e os comprimentos |vec u|=tfrac32, |vec v|=tfrac12, |vec w|=2. Queremos calcular
vec ucdotvec v+vec vcdotvec w+vec wcdotvec u
Vamos usar a identidade do produto escalar do vetor soma.

Passo 2

Escrevemos
(vec u+vec v+vec w)cdot(vec u+vec v+vec w)=0
Expandindo, fica
|vec u|^2+|vec v|^2+|vec w|^2+2l(vec ucdotvec v+vec vcdotvec w+vec wcdotvec ur)=0

Passo 3

Calculamos as normas ao quadrado:
|vec u|^2=l(tfrac32r)^2=tfrac94, |vec v|^2=l(tfrac12r)^2=tfrac14, |vec w|^2=2^2=4
Logo,
|vec u|^2+|vec v|^2+|vec w|^2 =tfrac94+tfrac14+4 =tfrac104+4 =tfrac52+4 =tfrac132

Passo 4

Substituindo em
tfrac132+2l(vec ucdotvec v+vec vcdotvec w+vec wcdotvec ur)=0
2l(vec ucdotvec v+vec vcdotvec w+vec wcdotvec ur)=-tfrac132 Longrightarrow vec ucdotvec v+vec vcdotvec w+vec wcdotvec u=-tfrac134

Resposta

-tfrac134

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