Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
que contém as retas r:lx=-3+t y=-t z=4 e s: x+22=y-2-2, z=0;

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r: x=-3+t, y=-t, z=4
e
s:x+22=y-2-2, z=0
Estamos em Geometria Analítica de espaços, e para achar o plano basta obter um vetor normal a ele, que é dado pelo produto vetorial de dois vetores não colineares contidos no plano.

Passo 2

Extraímos um vetor diretor de cada reta e um ponto em cada uma:
Da reta r, vetor diretor v=(1,-1,0) e ponto A(-3,0,4) (quando t=0).
Da reta s, vetor diretor u=(2,-2,0) e ponto B(-2,2,0) (quando o parâmetro vale zero).
Note que u=2v, ou seja, ambas as retas são paralelas e definem um mesmo plano.

Passo 3

Tomamos o vetor que liga A a B:
AB = B - A = (-2,2,0) - (-3,0,4) = (1,2,-4)

Passo 4

O vetor normal n ao plano é
n ;=;vtimesAB = i&j&k 1&-1&0 1&2&-4 =(4,4,3)

Passo 5

A equação do plano com normal n=(4,4,3) que passa por A(-3,0,4) é
4(x+3)+4(y-0)+3(z-4)=0
Distribuindo e simplificando, obtém-se
4x+4y+3z=0

Resposta

4x+4y+3z=0

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