Questão 1 (2 pontos). Encontre os pontos de inflexão da função h(x)=x^5-5 x^3+4 x.

Passo 1

A função é h(x)=x^5-5x^3+4x e o objetivo é achar os pontos de inflexão: para isso precisamos usar derivadas para ver onde a concavidade muda, ou seja onde a segunda derivada é zero e troca de sinal.

Passo 2

Para obter a segunda derivada, primeiro calculamos a derivada de h(x):
h'(x)=5x^4-15x^2+4
Em seguida derivamos de novo para achar
h''(x)=20x^3-30x=10x(2x^2-3)

Passo 3

Os candidatos a ponto de inflexão são as raízes de h''(x)=0. Resolvendo
10x(2x^2-3)=0
vem
x=0, 2x^2-3=0 x^2=tfrac32
Logo x=0 e x=pmraiztfrac32.

Passo 4

Para confirmar que cada ponto é de inflexão, verificamos a concavidade nos intervalos:
  • x<-raiz3/2: h''<0 (côncavo para baixo)
  • -raiz3/2<x<0: h''>0 (côncavo para cima)
  • 0<x<raiz3/2: h''<0 (côncavo para baixo)
  • x>raiz3/2: h''>0 (côncavo para cima)
    Como há troca de sinal em cada raiz, todas são pontos de inflexão.

Passo 5

Agora basta achar as coordenadas substituindo em h(x):
h(0)=0, hl(raiztfrac32r)=-tfrac54raiztfrac32, hl(-raiztfrac32r)=tfrac54raiztfrac32

Resposta

Os pontos de inflexão são l(-raiztfrac32,tfrac54raiztfrac32r), (0,0) e l(raiztfrac32,-tfrac54raiztfrac32r).

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