Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
possui o ponto M(1,5,-2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,-2,3) e B(-1,-4,3);

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por M(1,5,-2) e é paralela à reta determinada por A(5,-2,3) e B(-1,-4,3). O tema é equações de retas em R^3: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. Para isso precisamos do vetor diretor da reta paralela a AB e do ponto M.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor de AB como
AB = B - A = (-1-5,,-4-(-2),,3-3) = (-6,,-2,,0)
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo o mesmo sentido:
v = (3,,1,,0)

Passo 3

A equação vetorial da reta que passa por M e tem direção v é
r(t) = (1,,5,,-2) + t,(3,,1,,0)

Passo 4

Das componentes da equação vetorial extraímos as equações paramétricas:
x = 1 + 3t, y = 5 + t, z = -2

Passo 5

Como a componente z é constante, na forma simétrica temos
x - 13 = y - 51, z = -2
Na forma reduzida basta isolar duas delas:
z = -2, y - 5 = dfracx - 13

Resposta

Equação vetorial:
r(t) = (1,,5,,-2) + t,(3,,1,,0)
Equações paramétricas:
x = 1 + 3t, y = 5 + t, z = -2
Forma simétrica:
x - 13 = y - 51, z = -2
Forma reduzida:
z = -2, y - 5 = dfracx - 13

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