Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
possui o ponto A(1,-2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor v=(2,-2,3);

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por A(1,-2,3) e é paralela à reta dada pelo ponto B(2,0,1) e vetor diretor vec v=(2,-2,3).
Conteúdo: geometria analítica no espaço.
O que vamos usar:
  • para a equação vetorial, basta usar vec r=vec r0+tvec v;
  • para a equação paramétrica, extraímos das componentes;
  • para a equação simétrica, igualamos as frações;
  • para a equação reduzida, eliminamos o parâmetro para expressar y e z em função de x.

Passo 2

Equação vetorial. Basta tomar como ponto de passagem A e vetor diretor vec v:
vec r = OA + t,vec v Longrightarrow vec r = (1,-2,3) + t,(2,-2,3)

Passo 3

Equações paramétricas. Extraindo as componentes de vec r(t):
x = 1 + 2t, y = -2 - 2t, z = 3 + 3t,

Passo 4

Equação simétrica. Igualando as três expressões de t:
x - 12 ;=;y + 2-2;=;z - 33

Passo 5

Equação reduzida. Eliminamos t pela primeira fração t=(x-1)/2 e substituímos em y e z:
y=-2-2l(x-12r)=-x-1, z=3+3l(x-12r)=32x+32
Logo, em forma de sistema:
y=-x-1, z=tfrac32x+tfrac32

Resposta

Equação vetorial:
vec r=(1,-2,3)+t,(2,-2,3)
Equações paramétricas:
x=1+2t, y=-2-2t, z=3+3t
Equação simétrica:
x-12=y+2-2=z-33
Equações reduzidas:
y=-x-1, z=tfrac32x+tfrac32

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