Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
passa pelo ponto
e contém os vetores
e
;
passa pelo ponto
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a equação geral do(s) plano(s) que satisfaz(em) a condição dada.
Informações fornecidas:
- Um ponto do plano:
. - Dois vetores contidos no plano:
e .
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): um plano no espaço pode ser descrito por uma equação do tipo
onde:
-
é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a todo vetor que esteja no plano), -
representa um ponto genérico do plano, -
é um ponto conhecido do plano (aqui ).
Como temos dois vetores
e
que pertencem ao plano, um vetor normal ao plano é qualquer vetor perpendicular a ambos. O produto vetorial (cross product) dá exatamente um vetor perpendicular a dois vetores dados. Portanto, vamos calcular
Breve explicação do produto vetorial: para
e
temos
Cada componente foi construída para garantir perpendicularidade (o produto escalar entre
e
é zero, e o mesmo para
).
Passo 3
Aplicando a fórmula do produto vetorial aos vetores dados:
Calculemos componente a componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Logo, um vetor normal ao plano é
Passo 4
Escrevendo a equação ponto-normal do plano com
e
:
Colocando
e expandindo:
Isto é
Passo 5
Calcule o produto escalar e simplifique passo a passo:
Simplificando termos:
Agrupando constantes:
Essa é a equação geral do plano procurado. (Como verificação rápida: substituindo
obtemos
e
, então tudo confere.)