Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
passa pelo ponto E(1,2,2) e contém os vetores \vec{v}=(2,-1,1) e \vec{w}=(-3,1,-2);

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a equação geral do(s) plano(s) que satisfaz(em) a condição dada.
Informações fornecidas:
  • Um ponto do plano: E(1,2,2).
  • Dois vetores contidos no plano: \vec{v}=(2,-1,1) e \vec{w}=(-3,1,-2).

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): um plano no espaço pode ser descrito por uma equação do tipo
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0,
onde:
  • \vec{n}=(a,b,c) é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a todo vetor que esteja no plano),
  • \vec{r}=(x,y,z) representa um ponto genérico do plano,
  • \vec{r_0} é um ponto conhecido do plano (aqui \vec{r_0}=E).
Como temos dois vetores \vec{v} e \vec{w} que pertencem ao plano, um vetor normal ao plano é qualquer vetor perpendicular a ambos. O produto vetorial (cross product) dá exatamente um vetor perpendicular a dois vetores dados. Portanto, vamos calcular
\vec{n}=\vec{v}\times\vec{w}.
Breve explicação do produto vetorial: para \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) temos
\vec{v}\times\vec{w}=\big(v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1\big).
Cada componente foi construída para garantir perpendicularidade (o produto escalar entre \vec{v} e \vec{v}\times\vec{w} é zero, e o mesmo para \vec{w}).

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto vetorial aos vetores dados:
\vec{v}=(2,-1,1),\qquad \vec{w}=(-3,1,-2).
Calculemos componente a componente:
  • Primeira componente:
n_x = v_2 w_3 - v_3 w_2 = (-1)\cdot(-2) - 1\cdot 1 = 2 - 1 = 1.
  • Segunda componente:
n_y = v_3 w_1 - v_1 w_3 = 1\cdot(-3) - 2\cdot(-2) = -3 + 4 = 1.
  • Terceira componente:
n_z = v_1 w_2 - v_2 w_1 = 2\cdot 1 - (-1)\cdot(-3) = 2 - 3 = -1.
Logo, um vetor normal ao plano é
\vec{n}=(1,1,-1).

Passo 4

Escrevendo a equação ponto-normal do plano com \vec{n}=(1,1,-1) e \vec{r_0}=E(1,2,2):
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0.
Colocando \vec{r}=(x,y,z) e expandindo:
(1,1,-1)\cdot\big((x,y,z)-(1,2,2)\big)=0.
Isto é
(1,1,-1)\cdot(x-1,\;y-2,\;z-2)=0.

Passo 5

Calcule o produto escalar e simplifique passo a passo:
1\cdot(x-1) + 1\cdot(y-2) + (-1)\cdot(z-2)=0.
Simplificando termos:
x-1 + y-2 - z + 2 = 0.
Agrupando constantes:
x + y - z -1 = 0.
Essa é a equação geral do plano procurado. (Como verificação rápida: substituindo E(1,2,2) obtemos 1+2-2-1=0 e \vec{n}\cdot\vec{v}=0,\\ \vec{n}\cdot\vec{w}=0, então tudo confere.)

Resposta

x+y-z-1=0

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