Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das hipérboles.
\frac{(y-5)^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{3}=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{(y-5)^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{3}=1
e pede que determinemos: o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos da hipérbole.
Informações dadas: a equação da cônica está escrita em forma racional com os termos envolvendo y-5 e x. Não há outras informações.

Passo 2

Identificar a forma padrão comparando com a forma geral
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1.
Aqui vemos que o termo positivo é o que envolve y-5, então a forma tem k=5 e h=0. Comparando coeficientes:
a^{2}=1,\qquad b^{2}=3.
Expliquei passo a passo: a forma padrão acima tem o termo positivo primeiro quando a hipérbole tem eixo transverso vertical; as constantes h,k deslocam o centro.

Passo 3

Determinar o centro. O centro é o ponto (h,k) que aparece na forma padrão. Usando h=0 e k=5 concluo:
\text{centro}=(0,5).
Breve explicação: o centro é o ponto de simetria da hipérbole — o “meio” entre os ramos.

Passo 4

Determinar a e b. Já temos
a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{1}=1,
b=\sqrt{b^{2}}=\sqrt{3}.
Significado prático: a é a semi‑medida do eixo real (transversal) e b a semi‑medida do eixo imaginário (conjugado).

Passo 5

Calcular as medidas (comprimentos) do eixo real e do eixo imaginário.
O comprimento do eixo real (transversal) é 2a. Então
\text{eixo real (comprimento)}=2a=2\cdot 1=2.
O comprimento do eixo imaginário (conjugado) é 2b. Então
\text{eixo imaginário (comprimento)}=2b=2\sqrt{3}.á
Explicação: usamos 2a e 2b porque a e b são semi‑eixos.

Passo 6

Calcular a distância focal c e a excentricidade. Para hipérboles vale a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Substituindo a^{2}=1 e b^{2}=3:
c^{2}=1+3=4 \quad\Rightarrow\quad c=2.
A excentricidade é definida por e=\dfrac{c}{a}. Portanto
e=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2.
Comentário: e>1 para hipérboles; aqui e=2.

Passo 7

Determinar os focos. Como o termo positivo envolve y, o eixo transverso é vertical, logo os focos ficam sobre a reta vertical que passa pelo centro, a uma distância c para cima e para baixo do centro. Assim os focos são
(h,\,k+c)=(0,\,5+2)=(0,7),
(h,\,k-c)=(0,\,5-2)=(0,3).
(Mais uma verificação: os vértices seriam (0,5\pm a)=(0,6) e (0,4), caso queira visualizar.)

Resposta

Centro: (0,5)
Eixo real (comprimento): 2
Eixo imaginário (comprimento): 2\sqrt{3}
Excentricidade: 2
Focos: (0,7) e (0,3)

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