Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das hipérboles.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que determinemos: o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos da hipérbole.
Informações dadas: a equação da cônica está escrita em forma racional com os termos envolvendo e
. Não há outras informações.
Informações dadas: a equação da cônica está escrita em forma racional com os termos envolvendo
Passo 2
Identificar a forma padrão comparando com a forma geral
Aqui vemos que o termo positivo é o que envolve
, então a forma tem
e
. Comparando coeficientes:
Expliquei passo a passo: a forma padrão acima tem o termo positivo primeiro quando a hipérbole tem eixo transverso vertical; as constantes
deslocam o centro.
Passo 3
Determinar o centro. O centro é o ponto
que aparece na forma padrão. Usando
e
concluo:
Breve explicação: o centro é o ponto de simetria da hipérbole — o “meio” entre os ramos.
Passo 4
Determinar
e
. Já temos
Significado prático:
é a semi‑medida do eixo real (transversal) e
a semi‑medida do eixo imaginário (conjugado).
Passo 5
Calcular as medidas (comprimentos) do eixo real e do eixo imaginário.
O comprimento do eixo real (transversal) é . Então
O comprimento do eixo real (transversal) é
O comprimento do eixo imaginário (conjugado) é
. Então
Explicação: usamos
e
porque
e
são semi‑eixos.
Passo 6
Calcular a distância focal
e a excentricidade. Para hipérboles vale a relação
Substituindo
e
:
A excentricidade é definida por
. Portanto
Comentário:
para hipérboles; aqui
.
Passo 7
Determinar os focos. Como o termo positivo envolve
, o eixo transverso é vertical, logo os focos ficam sobre a reta vertical que passa pelo centro, a uma distância
para cima e para baixo do centro. Assim os focos são
(Mais uma verificação: os vértices seriam
e
, caso queira visualizar.)
Resposta
Centro:
Eixo real (comprimento):
Eixo imaginário (comprimento):
Excentricidade:
Focos: e
Eixo real (comprimento):
Eixo imaginário (comprimento):
Excentricidade:
Focos: