Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das hipérboles.
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=1

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
Temos a hipérbole dada por \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{9}=1.\n
O enunciado pede: determinar
  • o centro,
  • as medidas do eixo real e do eixo imaginário,
  • a excentricidade,
  • os focos.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • A equação já aparece na forma com termos em x^{2} e y^{2} separados e igual a 1.\n
  • Os denominadores são 9 em ambos os termos (ou seja, aparecem 9 e 9).\n

Passo 2

Relembrando a forma padrão e o significado dos parâmetros (aula rápida e prática):\n
A forma padrão da hipérbole com eixo transverso horizontal é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
onde:
  • (h,k) é o centro (o ponto do meio da hipérbole),
  • a>0 é o semi-eixo real (distância do centro até cada vértice ao longo do eixo real),
  • 2a é o comprimento do eixo real (também chamado eixo transverso),
  • b>0 é o semi-eixo imaginário (distância do centro até cada co-vértice no eixo conjugado),
  • 2b é o comprimento do eixo imaginário (eixo conjugado),
  • os focos ficam no eixo real a uma distância c do centro, com
c^{2}=a^{2}+b^{2},
  • a excentricidade é definida por
e=\frac{c}{a},
e mede o quanto a hipérbole é “aberta”.
Vou usar essas fórmulas e conceitos passo a passo para a equação dada.

Passo 3

Identificando a forma padrão na equação dada:\n
A equação é
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=1.
Comparando com \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, vemos que não há termos de deslocamento em x ou y; logo o centro é (h,k)=(0,0). Não estou resolvendo nada além de identificar o centro a partir da forma.

Passo 4

Determinar a e b:\n
Pela comparação direta temos a^{2}=9 e b^{2}=9.\n
Tomando as raízes positivas (por convenção a>0 e b>0):
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{9}=3.
Explicação curta: a e b são medidas geométricas (distâncias), por isso escolhemos a raiz positiva.

Passo 5

Vértices e co-vértices (para entender bem os eixos):\n
  • Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo real (eixo x aqui), então os vértices são (\pm a,0)=(\pm 3,0).\n
  • Os co-vértices estão a uma distância b do centro ao longo do eixo imaginário (eixo y aqui), então são (0,\pm b)=(0,\pm 3).\n
    Essas coordenadas ajudam a visualizar os comprimentos dos eixos.

Passo 6

Medidas dos eixos (pedido explícito):\n
  • Comprimento do eixo real (transverso) é 2a. Como a=3,
2a=2\cdot 3=6.
  • Comprimento do eixo imaginário (conjugado) é 2b. Como b=3,
2b=2\cdot 3=6.
Portanto os dois eixos têm comprimento 6 cada (isso acontece porque a=b neste caso).

Passo 7

Calcular c (distância do centro aos focos) e simplificar:\n
Usamos a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Substituindo a^{2}=9 e b^{2}=9,
c^{2}=9+9=18.
Logo
c=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}.
Expliquei a fatoração para simplificar a raiz.

Passo 8

Localização dos focos e cálculo da excentricidade:\n
  • Os focos estão ao longo do eixo real (eixo x) porque o sinal positivo está no termo com x^{2}. Assim os focos são (\pm c,0), i.e.
(\pm 3\sqrt{2},0).
  • A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}.
Interpretação rápida: e=\sqrt{2}>1, como esperado para hipérboles (sempre e>1).

Resposta

Centro: (0,0)\n
Medida do eixo real: 2a=6\n
Medida do eixo imaginário: 2b=6\n
Excentricidade: e=\sqrt{2}\n
Focos: (\pm 3\sqrt{2},0)

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