Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das hipérboles.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
Temos a hipérbole dada por .\n
O enunciado pede: determinar
Temos a hipérbole dada por
O enunciado pede: determinar
- o centro,
- as medidas do eixo real e do eixo imaginário,
- a excentricidade,
- os focos.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
- A equação já aparece na forma com termos em
e separados e igual a .\n - Os denominadores são
em ambos os termos (ou seja, aparecem e ).\n
Passo 2
Relembrando a forma padrão e o significado dos parâmetros (aula rápida e prática):\n
A forma padrão da hipérbole com eixo transverso horizontal é
A forma padrão da hipérbole com eixo transverso horizontal é
onde:
-
é o centro (o ponto do meio da hipérbole), -
é o semi-eixo real (distância do centro até cada vértice ao longo do eixo real), -
é o comprimento do eixo real (também chamado eixo transverso), -
é o semi-eixo imaginário (distância do centro até cada co-vértice no eixo conjugado), -
é o comprimento do eixo imaginário (eixo conjugado), - os focos ficam no eixo real a uma distância
do centro, com
- a excentricidade é definida por
e mede o quanto a hipérbole é “aberta”.
Vou usar essas fórmulas e conceitos passo a passo para a equação dada.
Passo 3
Identificando a forma padrão na equação dada:\n
A equação é
A equação é
Comparando com
, vemos que não há termos de deslocamento em
ou
; logo o centro é
. Não estou resolvendo nada além de identificar o centro a partir da forma.
Passo 4
Determinar
e
:\n
Pela comparação direta temos e
.\n
Tomando as raízes positivas (por convenção e
):
Pela comparação direta temos
Tomando as raízes positivas (por convenção
Explicação curta:
e
são medidas geométricas (distâncias), por isso escolhemos a raiz positiva.
Passo 5
Vértices e co-vértices (para entender bem os eixos):\n
- Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo real (eixo aqui), então os vértices são .\n - Os co-vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo imaginário (eixo aqui), então são .\n
Essas coordenadas ajudam a visualizar os comprimentos dos eixos.
Passo 6
Medidas dos eixos (pedido explícito):\n
- Comprimento do eixo real (transverso) é
. Como ,
- Comprimento do eixo imaginário (conjugado) é
. Como ,
Portanto os dois eixos têm comprimento
cada (isso acontece porque
neste caso).
Passo 7
Calcular
(distância do centro aos focos) e simplificar:\n
Usamos a relação
Usamos a relação
Substituindo
e
,
Logo
Expliquei a fatoração para simplificar a raiz.
Passo 8
Localização dos focos e cálculo da excentricidade:\n
- Os focos estão ao longo do eixo real (eixo
) porque o sinal positivo está no termo com . Assim os focos são , i.e.
- A excentricidade é
Interpretação rápida:
, como esperado para hipérboles (sempre
).
Resposta
Centro:
\n
Medida do eixo real: \n
Medida do eixo imaginário: \n
Excentricidade: \n
Focos:
Medida do eixo real:
Medida do eixo imaginário:
Excentricidade:
Focos: