Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
possui o ponto A=(1,2,1) e é paralelo aos vetores u=i+j-k e v=i+j-2 k

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • Um ponto da reta/plano: A=(1,2,1).
  • Dois vetores paralelos ao plano: u=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k} e v=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.
O que é pedido:
  • Determinar a equação geral do plano que passa por A e é paralelo aos vetores u e v.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • Um plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrito na forma vetorial como o conjunto de pontos P tais que o vetor \overrightarrow{AP} é combinação linear de dois vetores diretores do plano. Porém, para obter a equação geral (do tipo ax+by+cz+d=0) é mais prático encontrar um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) ao plano.
  • Se o plano é paralelo aos vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, então um vetor normal \mathbf{n} ao plano é perpendicular a ambos \mathbf{u} e \mathbf{v}. O produto vetorial (cross product) fornece exatamente esse vetor: \mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}.
  • Fórmula para o produto vetorial: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Cada componente é a diferença de certos produtos; isso garante que o resultado seja perpendicular a \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • Uma vez com \mathbf{n}=(a,b,c) e com um ponto A=(x_0,y_0,z_0) do plano, a equação vetorial escalar do plano é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0,
ou seja
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,
que se rearranja para a forma geral ax+by+cz+d=0.

Passo 3

Aplicando ao caso dado: escrevendo componentes dos vetores
\mathbf{u}=(1,1,-1),\qquad \mathbf{v}=(1,1,-2).
Vamos calcular \mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v} usando a fórmula de componentes:
n_x = u_2 v_3 - u_3 v_2 = 1\cdot(-2) - (-1)\cdot 1 = -2 +1 = -1,
n_y = u_3 v_1 - u_1 v_3 = (-1)\cdot 1 - 1\cdot(-2) = -1 +2 = 1,
n_z = u_1 v_2 - u_2 v_1 = 1\cdot 1 - 1\cdot 1 = 1 -1 = 0.
Portanto
\mathbf{n}=(-1,\,1,\,0).

Passo 4

Podemos simplificar o vetor normal multiplicando por -1 se quisermos uma forma mais “limpa”:
\mathbf{n}=(1,\,-1,\,0).
Ambos os vetores normais representam a mesma direção de normalidade; a equação do plano ficará equivalente.

Passo 5

Agora escrevemos a equação do plano usando o ponto A=(1,2,1) e \mathbf{n}=(-1,1,0) (ou a forma simplificada). Usando \mathbf{n}=(-1,1,0),
-1\,(x-1)+1\,(y-2)+0\,(z-1)=0.
Desenvolvendo:
- x +1 + y -2 =0 \quad\Rightarrow\quad -x + y -1 =0.
Multiplicando por -1 para ficar mais convencional,
x - y +1 =0.
Observe que não aparece z na equação (coeficiente zero), o que significa que o plano contém retas paralelas ao eixo z — isso é coerente com \mathbf{n} tendo componente z nula.

Passo 6

Verificações rápidas (para ter confiança na resposta):
  • Verificar que A satisfaz a equação:
1 - 2 + 1 = 0.
Ok.
  • Verificar que \mathbf{u} e \mathbf{v} são perpendiculares a \mathbf{n}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=(-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot(-1)=0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=(-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot(-2)=0.
Ambos nulos, logo \mathbf{u} e \mathbf{v} são paralelos ao plano encontrado. Tudo consistente!

Resposta

x - y + 1 = 0

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