Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
possui o ponto A=(1,2,1) e é paralelo aos vetores u=i+j-k e v=i+j-2 k
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações:
Um ponto da reta/plano: A=(1,2,1).
Dois vetores paralelos ao plano: u=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k} e v=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.
O que é pedido:
Determinar a equação geral do plano que passa por A e é paralelo aos vetores u e v.
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
Um plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrito na forma vetorial como o conjunto de pontos P tais que o vetor \overrightarrow{AP} é combinação linear de dois vetores diretores do plano. Porém, para obter a equação geral (do tipo ax+by+cz+d=0) é mais prático encontrar um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) ao plano.
Se o plano é paralelo aos vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, então um vetor normal \mathbf{n} ao plano é perpendicular a ambos \mathbf{u} e \mathbf{v}. O produto vetorial (cross product) fornece exatamente esse vetor: \mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}.
Fórmula para o produto vetorial: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
Podemos simplificar o vetor normal multiplicando por -1 se quisermos uma forma mais “limpa”:
\mathbf{n}=(1,\,-1,\,0).
Ambos os vetores normais representam a mesma direção de normalidade; a equação do plano ficará equivalente.
Passo 5
Agora escrevemos a equação do plano usando o ponto A=(1,2,1) e \mathbf{n}=(-1,1,0) (ou a forma simplificada). Usando \mathbf{n}=(-1,1,0),
-1\,(x-1)+1\,(y-2)+0\,(z-1)=0.
Desenvolvendo:
- x +1 + y -2 =0 \quad\Rightarrow\quad -x + y -1 =0.
Multiplicando por -1 para ficar mais convencional,
x - y +1 =0.
Observe que não aparece z na equação (coeficiente zero), o que significa que o plano contém retas paralelas ao eixo z — isso é coerente com \mathbf{n} tendo componente z nula.
Passo 6
Verificações rápidas (para ter confiança na resposta):
Verificar que A satisfaz a equação:
1 - 2 + 1 = 0.
Ok.
Verificar que \mathbf{u} e \mathbf{v} são perpendiculares a \mathbf{n}: