Determinar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de maneira que sua distância ao eixo y é sempre igual à duas vezes sua distância ao ponto F=(3,-4).

Passo 1

Então, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de tal forma que a distância dele até o eixo y seja sempre o dobro da distância até um ponto fixo F=(3,-4). Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distância de um ponto até o eixo y. Se o ponto tem coordenadas (x, y), a distância até o eixo y é simplesmente a distância horizontal até esse eixo, que é o valor absoluto de x. Ou seja, deixo y = |x|.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância do ponto (x, y) até o ponto fixo F=(3,-4). A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando isso, temos:
dF = raiz(x - 3)^2 + (y + 4)^2

Passo 4

Segundo o enunciado, a distância até o eixo y é o dobro da distância até o ponto F. Então, podemos escrever essa condição como:
|x| = 2 cdot raiz(x - 3)^2 + (y + 4)^2
Para simplificar, vamos evitar o valor absoluto multiplicando ambos os lados por 2 e elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 = 4 [(x - 3)^2 + (y + 4)^2]

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar essa equação:
x^2 = 4 [(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16)]
Distribuindo o 4:
x^2 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2 + 32y + 64
Reorganizando os termos:
0 = 3x^2 - 24x + 4y^2 + 32y + 100

Passo 6

Para identificar a trajetória, vamos completar os quadrados para x e y:
Primeiro para x:
3x^2 - 24x = 3(x^2 - 8x)
Completando o quadrado:
3(x^2 - 8x + 16) - 48 = 3(x - 4)^2 - 48
Agora para y:
4y^2 + 32y = 4(y^2 + 8y)
Completando o quadrado:
4(y^2 + 8y + 16) - 64 = 4(y + 4)^2 - 64

Passo 7

Substituindo de volta na equação original:
3(x - 4)^2 - 48 + 4(y + 4)^2 - 64 + 100 = 0
Simplificando:
3(x - 4)^2 + 4(y + 4)^2 - 12 = 0
3(x - 4)^2 + 4(y + 4)^2 = 12
Dividindo todos os termos por 12:
(x - 4)^24 + (y + 4)^23 = 1

Resposta

A equação da trajetória é
(x - 4)^24 + (y + 4)^23 = 1
Isso representa uma elipse com centro em (4, -4), eixo maior de comprimento 2raiz4=4 na direção x e eixo menor de comprimento 2raiz3 na direção y.

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