Determinar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de maneira que sua distância ao eixo
é sempre igual à duas vezes sua distância ao ponto
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de tal forma que a distância dele até o eixo
seja sempre o dobro da distância até um ponto fixo
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a distância de um ponto até o eixo
. Se o ponto tem coordenadas
, a distância até o eixo
é simplesmente a distância horizontal até esse eixo, que é o valor absoluto de
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância do ponto
até o ponto fixo
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é dada por:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Segundo o enunciado, a distância até o eixo
é o dobro da distância até o ponto
. Então, podemos escrever essa condição como:
Para simplificar, vamos evitar o valor absoluto multiplicando ambos os lados por 2 e elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, vamos expandir e simplificar essa equação:
Distribuindo o 4:
Reorganizando os termos:
Passo 6
Para identificar a trajetória, vamos completar os quadrados para
e
:
Primeiro para :
Primeiro para
Completando o quadrado:
Agora para
:
Completando o quadrado:
Passo 7
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 12:
Resposta
A equação da trajetória é
Isso representa uma elipse com centro em
, eixo maior de comprimento
na direção
e eixo menor de comprimento
na direção
.