A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano
:
Calcule o valor de
para que a referida equação torne-se: a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
.
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada na questão. A gente tem a seguinte equação:
Nos pedem para encontrar o valor de
que faz essa equação ser a de uma hipérbole com os focos no eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as coniagrasções como elipse, circunferência e hipérbole, e ver como identificar uma hipérbole nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a forma geral da equação de uma conic centrada na origem no plano
é:
Dependendo dos valores de
e
, essa equação pode representar:
- Elipse se ambos
e forem positivos e diferentes. - Circunferência se
. - Hipérbole se um dos denominadores for negativo.
Como queremos que seja uma hipérbole, precisamos que um dos denominadores seja negativo.
Passo 3
Vamos analisar os denominadores da nossa equação:
Para termos uma hipérbole, um dos denominadores deve ser negativo. Vamos considerar que o denominador de
seja positivo e o de
seja negativo (já que queremos os focos no eixo
).
Portanto, temos as condições:
-
\quad (para ) -
\quad (para )
Passo 4
Vamos resolver essas desigualdades:
-
Adicionando 3 dos dois lados:
-
Adicionando 10 dos dois lados:Dividindo por 2:
Então, para que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente,
precisa satisfazer:
Passo 5
Portanto,
pode ser qualquer valor entre 3 e 5 para que a equação seja de uma hipérbole com os focos no eixo
.
Resposta
O valor de
deve estar entre 3 e 5, ou seja,
.