A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano x y :
x^2k-3+y^22 k-10=1
Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se: a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo y.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada na questão. A gente tem a seguinte equação:
x^2k-3+y^22k-10=1
Nos pedem para encontrar o valor de que faz essa equação ser a de uma hipérbole com os focos no eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as coniagrasções como elipse, circunferência e hipérbole, e ver como identificar uma hipérbole nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a forma geral da equação de uma conic centrada na origem no plano x^2a + y^2b = 1 é:
Dependendo dos valores de e , essa equação pode representar:
  • Elipse se ambos e forem positivos e diferentes.
  • Circunferência se .
  • Hipérbole se um dos denominadores for negativo.
Como queremos que seja uma hipérbole, precisamos que um dos denominadores seja negativo.

Passo 3

Vamos analisar os denominadores da nossa equação:
x^2k-3 + y^22k-10 = 1
Para termos uma hipérbole, um dos denominadores deve ser negativo. Vamos considerar que o denominador de seja positivo e o de seja negativo (já que queremos os focos no eixo ).
Portanto, temos as condições:
  1. \quad (para )
  2. \quad (para )

Passo 4

Vamos resolver essas desigualdades:
  1. 3 < k < 5
    Adicionando 3 dos dois lados:
  2. Adicionando 10 dos dois lados:
    Dividindo por 2:
Então, para que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente, precisa satisfazer:

Passo 5

Portanto, pode ser qualquer valor entre 3 e 5 para que a equação seja de uma hipérbole com os focos no eixo .

Resposta

O valor de deve estar entre 3 e 5, ou seja, .

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