Determine a equação reduzida, o foco, a diretriz, o vértice e faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas: y^2+12 x-4 y-8=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa parábola juntos! A gente tem a equação . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre parábolas, especialmente como transformar a equação geral em forma reduzida para identificar características como vértice, foco e diretriz. Para isso, vamos precisar completar o quadrado com relação ao .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos em y^2 - 4y + 12x - 8 = 0 e os demais:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em y^2 - 4y = (y^2 - 4y + 4) - 4 = (y - 2)^2 - 4 . Lembre-se que completar o quadrado ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita identificar as características da parábola.

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
(y - 2)^2 - 4 + 12x - 8 = 0
Simplificando os termos constantes:
(y - 2)^2 + 12x - 12 = 0

Passo 5

Vamos isolar o termo que envolve (y - 2)^2 = -12x + 12 :
(y - 2)^2 = -12(x - 1)

Passo 6

Agora, a equação está na forma padrão da parábola horizontal:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Comparando com a nossa equação:
(y - 2)^2 = -12(x - 1)
Aqui, , e , então .

Passo 7

Com esses valores, podemos identificar:
  • Vértice: x = 1 - (-3) = 4
  • Foco:
  • Diretriz: A equação da diretriz é . Então,

Passo 8

Então, a equação reduzida da parábola é:
(y - 2)^2 = -12(x - 1)
E as características são:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz: A reta vertical

Resposta

A equação reduzida da parábola é . O vértice está em , o foco em , e a diretriz é a reta . O gráfico é uma parábola que abre para a esquerda, com vértice no ponto .

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