A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano
:
Calcule o valor de
para que a referida equação torne-se: Um conjunto vazio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que pode representar uma elipse, uma circunferência ou uma hipérbole no plano
:
O objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz essa equação não ter nenhuma solução real, ou seja, que o conjunto de pontos que satisfazem a equação seja vazio. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações de segundo grau e as condições que determinam o tipo de curva que elas representam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os denominadores das frações na equação:
- O denominador de
é . - O denominador de
é .
Para que a equação represente uma elipse ou uma hipérbole real, os denominadores devem ser positivos ou negativos de forma que a soma das frações possa realmente resultar em 1. Mas se os denominadores forem de uma maneira que a soma nunca possa igualar 1, então não haverá solução real, ou seja, será um conjunto vazio.
Passo 3
Vamos pensar no que acontece se os denominadores forem negativos. Se
e
, então ambas as frações seriam negativas (já que o numerador,
e
, são sempre positivos ou zero).
Somando duas quantidades negativas, a gente nunca consegue chegar a 1, que é um número positivo. Portanto, se ambos os denominadores forem negativos, a equação não terá solução real.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
que fazem
e
.
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Passo 5
A gente precisa que ambas as desigualdades sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Ou seja,
deve ser menor que 3 e menor que 5. Como 3 é menor que 5, o valor mais restritivo é
.
Resposta
Para que a equação dada não tenha nenhuma solução real, o valor de
deve ser qualquer número menor que 3.