A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano x y :
x^2k-3+y^22 k-10=1
Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se: Um conjunto vazio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que pode representar uma elipse, uma circunferência ou uma hipérbole no plano x^2k-3+y^22k-10=1 :
O objetivo aqui é encontrar o valor de que faz essa equação não ter nenhuma solução real, ou seja, que o conjunto de pontos que satisfazem a equação seja vazio. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações de segundo grau e as condições que determinam o tipo de curva que elas representam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os denominadores das frações na equação:
  • O denominador de é .
  • O denominador de é .
Para que a equação represente uma elipse ou uma hipérbole real, os denominadores devem ser positivos ou negativos de forma que a soma das frações possa realmente resultar em 1. Mas se os denominadores forem de uma maneira que a soma nunca possa igualar 1, então não haverá solução real, ou seja, será um conjunto vazio.

Passo 3

Vamos pensar no que acontece se os denominadores forem negativos. Se e , então ambas as frações seriam negativas (já que o numerador, e , são sempre positivos ou zero).
Somando duas quantidades negativas, a gente nunca consegue chegar a 1, que é um número positivo. Portanto, se ambos os denominadores forem negativos, a equação não terá solução real.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de k - 3 < 0 implies k < 3 que fazem 2k - 10 < 0 implies 2k < 10 implies k < 5 e .
Primeiro, para :
Segundo, para :

Passo 5

A gente precisa que ambas as desigualdades sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Ou seja, deve ser menor que 3 e menor que 5. Como 3 é menor que 5, o valor mais restritivo é .

Resposta

Para que a equação dada não tenha nenhuma solução real, o valor de deve ser qualquer número menor que 3.

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