Determinar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de maneira que sua distância ao ponto
é sempre igual à duas vezes sua distância a reta
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto
e uma reta
. A trajetória que queremos encontrar é o conjunto de pontos que estão sempre a uma distância do ponto
igual a duas vezes a distância desse ponto à reta
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Vamos chamar um ponto qualquer dessa trajetória de
. A distância entre
e
pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre o ponto
e a reta
. A fórmula para a distância de um ponto
a uma reta vertical
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Segundo o enunciado, a distância de
a
é duas vezes a distância de
à reta
. Então, podemos escrever a relação:
Passo 5
Para facilitar a resolução, vamos eliminar o valor absoluto e o radical elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 7
Vamos reunir todos os termos na esquerda da equação:
Passo 8
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por -1:
Passo 9
Agora, vamos completar o quadrado para a parte em
:
Passo 10
Dividindo todos os termos por 12 para simplificar a equação:
Passo 11
Essa é a equação padrão de uma hipérbole com eixo transversal paralelo ao eixo
. Portanto, a trajetória é uma hipérbole com centro em
, abrindo-se horizontalmente.
Resposta
A equação da trajetória é
e a trajetória é uma hipérbole com centro em
, abrindo-se pela horizontal.