Determinar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de maneira que sua distância ao ponto F=(5,0) é sempre igual à duas vezes sua distância a reta x=2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto e uma reta . A trajetória que queremos encontrar é o conjunto de pontos que estão sempre a uma distância do ponto igual a duas vezes a distância desse ponto à reta . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Vamos chamar um ponto qualquer dessa trajetória de d(P, F) = raiz(x - 5)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - 5)^2 + y^2 . A distância entre e pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o ponto d(P, reta) = |x - a| e a reta d(P, x = 2) = |x - 2| . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta vertical é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Segundo o enunciado, a distância de raiz(x - 5)^2 + y^2 = 2|x - 2| a é duas vezes a distância de à reta . Então, podemos escrever a relação:

Passo 5

Para facilitar a resolução, vamos eliminar o valor absoluto e o radical elevando ambos os lados ao quadrado:
(raiz(x - 5)^2 + y^2)^2 = (2|x - 2|)^2
(x - 5)^2 + y^2 = 4(x - 2)^2

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos:
(x^2 - 10x + 25) + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4)
x^2 - 10x + 25 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16

Passo 7

Vamos reunir todos os termos na esquerda da equação:
x^2 - 10x + 25 + y^2 - 4x^2 + 16x - 16 = 0
-3x^2 + 6x + y^2 + 9 = 0

Passo 8

Para simplificar, multiplicamos todos os termos por -1:
3x^2 - 6x - y^2 - 9 = 0
3x^2 - 6x - y^2 = 9

Passo 9

Agora, vamos completar o quadrado para a parte em 3(x^2 - 2x) - y^2 = 9 :
3( (x - 1)^2 - 1 ) - y^2 = 9
3(x - 1)^2 - 3 - y^2 = 9
3(x - 1)^2 - y^2 = 12

Passo 10

Dividindo todos os termos por 12 para simplificar a equação:
(x - 1)^24 - y^212 = 1

Passo 11

Essa é a equação padrão de uma hipérbole com eixo transversal paralelo ao eixo . Portanto, a trajetória é uma hipérbole com centro em , abrindo-se horizontalmente.

Resposta

A equação da trajetória é
(x - 1)^24 - y^212 = 1
e a trajetória é uma hipérbole com centro em , abrindo-se pela horizontal.

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