A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano x y :
x^2k-3+y^22 k-10=1
Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se: a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação que pode representar uma elipse, uma circunferência ou uma hipérbole no plano xy:
x^2k-3+y^22 k-10=1
O nosso objetivo é encontrar o valor de k que faz com que essa equação seja a de uma hipérbole com os focos no eixo x. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as diferentes formas de conic sections (as curvas que a gente estuda assim).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as equações padrão dessas curvas:
  • Circunferência: x^2r^2 + y^2r^2 = 1, onde ambos os denominadores são iguais e positivos.
  • Elipse: x^2a^2 + y^2b^2 = 1, onde a e b são positivos e diferentes.
  • Hipérbole: x^2a^2 - y^2b^2 = 1 ou -x^2a^2 + y^2b^2 = 1, onde um denominador é positivo e o outro é negativo.
Para ser uma hipérbole, nossa equação precisa ter denominadores de sinais opostos.

Passo 3

Observando a equação dada:
x^2k-3+y^22 k-10=1
Para que seja uma hipérbole, um dos denominadores deve ser positivo e o outro negativo.
Vamos analisar os denominadores:
  1. Denominador de x^2: k - 3
  2. Denominador de y^2: 2k - 10
Queremos que um seja positivo e o outro negativo. Além disso, para que os focos estejam no eixo x, a variável x deve estar associada ao termo positivo.

Passo 4

Vamos definir as condições:
  1. k - 3 > 0 (para que o denominador de x^2 seja positivo)
  2. 2k - 10 < 0 (para que o denominador de y^2 seja negativo)
Agora, resolvendo cada uma dessas desigualdades:
  • Para k - 3 > 0:
k - 3 > 0 k > 3
  • Para 2k - 10 < 0:
2k - 10 < 0 2k < 10 k < 5

Passo 5

Agora, combinando as duas condições:
3 < k < 5
Isso significa que k deve ser maior que 3 e menor que 5 para que a equação represente uma hipérbole com os focos no eixo x.

Resposta

Para que a equação seja a de uma hipérbole com os focos no eixo x, o valor de k deve satisfazer 3 < k < 5.

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