A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano
:
Calcule o valor de
para que a referida equação torne-se: a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação que pode representar uma elipse, uma circunferência ou uma hipérbole no plano
:
O nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que essa equação seja a de uma hipérbole com os focos no eixo
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as diferentes formas de conic sections (as curvas que a gente estuda assim).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as equações padrão dessas curvas:
- Circunferência:
, onde ambos os denominadores são iguais e positivos. - Elipse:
, onde e são positivos e diferentes. - Hipérbole:
ou , onde um denominador é positivo e o outro é negativo.
Para ser uma hipérbole, nossa equação precisa ter denominadores de sinais opostos.
Passo 3
Observando a equação dada:
Para que seja uma hipérbole, um dos denominadores deve ser positivo e o outro negativo.
Vamos analisar os denominadores:
- Denominador de
: - Denominador de
:
Queremos que um seja positivo e o outro negativo. Além disso, para que os focos estejam no eixo
, a variável
deve estar associada ao termo positivo.
Passo 4
Vamos definir as condições:
-
(para que o denominador de seja positivo) -
(para que o denominador de seja negativo)
Agora, resolvendo cada uma dessas desigualdades:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, combinando as duas condições:
Isso significa que
deve ser maior que 3 e menor que 5 para que a equação represente uma hipérbole com os focos no eixo
.
Resposta
Para que a equação seja a de uma hipérbole com os focos no eixo
, o valor de
deve satisfazer
.