Num espaço vetorial V, dado w in V, chama-se translação definida por w a aplicação Tw : V V tal que Tw(u)=u+w, forall u in V. Mostrar que se w neq 0, então T não é linear.

Passo 1

O enunciado define, num espaço vetorial V, a translação por um vetor win V como a aplicação
Tw:Vto V, Tw(u)=u+w
Queremos mostrar que, se wneq0, então Tw não satisfaz os requisitos de linearidade.

Passo 2

Lembrando que uma aplicação T:Vto V é linear se, e somente se, para todo u,vin V e todo escalar alpha, tivermos
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha u)=alpha,T(u)
Uma consequência imediata dessas propriedades é que
T(0) =T(0cdot u) =0cdot T(u) =0

Passo 3

Calculamos Tw aplicado ao vetor nulo:
Tw(0) =0+w =w
Como wneq0, temos Tw(0)neq0, violando a condição necessária T(0)=0.

Resposta

Tw não é linear quando wneq0.

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